Элементы теории сигналов и частотный анализ линейных цепей (стр. 2 )

Рис. 5.2

Отметим, что коэффициент существует только в точках кратных

Рис.5.2 изображает амплитудный спектр заданного сигнала. Пунктирная линия является огибающей амплитудного спектра и равна 0 в точках, где и т. д.,отсюда:

…

Частотный интервал заключает в себя первую полуволну огибающей спектра (первый лепесток), - вторую полуволну и т. д.

Фазовый спектр данного сигнала изображен на рис.5.3.

Рис. 5.3

На рис. 5.3 видно, что изменяется ступенчато с интервалом , что связано с периодическим изменением знака .

ПРИМЕР 5.2

Разложить в тригонометрический ряд Фурье сигнал , представляющий собой знакопеременную периодическую последовательность прямоугольных импульсов - меандр (рис.5.4).Амплитуда сигнала U, период Т.

В соответствии с (5.11):

;

Рис. 5.4

Согласно выбранному началу отсчета функция -нечетная и

соответственно равны 0.

Таким образом, .

(см. п.5.2.2)

Запишем в виде:

Построим спектральную диаграмму до n=7.

Спектральная диаграмма данного сигнала изображена на рис.5.5.

Рис. 5.5

Легко видеть, что и ряд Фурье имеет вид:

.

Рассмотренный пример позволяет дать прозрачную физическую трак­товку понятию спектра периодического сигнала.

Коэффициенты являются амплитудами мгновенных значений то­ков или напряжений частот ,а - их начальными фазами.

В самом деле:

и т. д.

Суммируя члены ряда Фурье, можно восстановить временную форму сигна­ла.

На примере периодической последовательности равноотстоящих импульсов (Рис.5.1) рассмотрим точность представления сигнала в зависимости от числа членов ряда (Рис.5.6, а, б, в, г, д, е, ж).

Амплитуда импульса U= 1 Вольт

Длительность = 0,1 миллисекунда

Период T= 0,2 миллисекунды

N-число членов ряда.

N=1

а)

N=3

б)

N=5

в)

N=11

г)

N=21

д)

N=101

е)

N=1001

ж)

Рис. 5.6

Разложение в ряд Фурье периодических сигналов позволяет решить, по меньшей мере, две практически важные задачи:

1.Определение с достаточной для инженерной практики точностью ширины спектра сигнала.

Хотя ряд Фурье бесконечен, можно брать конечное число членов ряда, оговорив заранее ошибку "усечения" ряда.

В соответствии с равенством Парсеваля,

(5.13) Используя принятый в практике критерий, что ошибка "усечения" ряда не должка быть больше 0,1 и на основе (5.13) запишем:

. (5.14)

и, таким образом, верхняя ширина спектра сигнала .

2. Синтез сигнала заданной формы.

Задан спектр сигнала в обобщенном базисе .

Необ­ходимо аппаратурным путем синтезировать данный сигнал, т. е. восста­новить его временную форму .

Принцип действия синтезатора сигнала в обобщенном базисе поясняется на рис.5.7.

Рис. 5.7

Как уже упоминалось выше, необходимое число членов ряда для достижения заданной точности совпадения и зависит от вида базисной функции .

5.4. Спектр непериодического сигнала

Предельным случаем периодического сигнала является одиночный

сигнал: импульс, "пачка" импульсов и т. д. (рис.5.8,а, б,в).

Рис. 5.8

Для вычисления спектра непериодического сигнала предположим, что сигнал периодический с (рис. 5.9),

Рис. 5.9

и используем это предположение для получения аналитического вы­ражения спектра данного сигнала.

Запишем для экспоненциальный ряд Фурье:

(5.15)

где

(5.16)

Учитывая (5.15), (5.16) и полагая, что при

а - текущая частота, преобразуем сумму бесконечно малых величин в интеграл.

Запишем: (5.17)

Введем обозначение:

(5.17а)

Тогда (5.17) примет вид:

(5.18)

Выражения (5.17а) и (5.18) представляют собой соответственно формулы прямого и обратного преобразования Фурье. В литературе для указанных преобразований приняты следующие условные

обозначения:

,

- является непрерывной функцией частоты и представляет собой спектральную плотность сигнала.

В дальнейшем спектральную плотность будем называть спектром.

В общем случае величина - комплексная и может быть представлена в виде:

,

где

- спектральная плотность амплитуд-ампли­тудный спектр;

- спектральная плотность фаз - фазовый спектр.

ПРИМЕР 5.3

Вычислить спектр одиночного прямоугольного импульса(рис.5.10).

Рис. 5.10

Амплитудный и фазовый спектры изображены на рис.5.11,а, б.

Рис. 5.11

Основные свойства спектра непериодического сигнала.

1.Спектр непериодического сигнала сплошной - непрерывная функ­ция .