5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ И ЧАСТОТНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

5.1. Разложение сигналов по системам взаимно-ортогональных

функций

Заданный сигнал S(t) при условии, что т. е. энергия сигнала ограничена, что справедливо для всех реально существующих сигналов, можно разложить в ряд по системе взаимно-ортогональных функций.

В этом случае сигнал S(t) может быть представлен в виде:

(5.1)

Соотношение (5.1) представляет собой обобщенный ряд Фурье, где -коэффициенты, - функции, называемые базисными функциями, должны быть непрерывны в области определения , и удовлетворять условию ортогональности.

(5.2)

в (5.2) -норма функции ;

- некоторое постоянное число.

Если , базисную функцию называют ортонормированной.

Найдем коэффициент , для чего представим (5.1) следующим образом: (5.3)

т. к. все члены суммы в правой части вида при равны нулю, (5.3) будет иметь вид:

,

откуда - коэффициент обобщенного ряда Фурье.

При усечении числа членов ряда (5.1) до N имеет место погрешность представления сигнала S(t) в виде ряда и можно показать, что:

(5.4)

Это неравенство Бесселя.

Если -величина комплексная, то

(5.5)

* - знак сопряженной величины и .

Рассмотрим энергетические соотношения при разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье.

Энергия электрического сигнала , заключенная в интервале , выражается соотношением:

(5.6)

*-энергия, выделяемая на сопротивление в 1 Ом за время .

Соответственно ; -мощность сигнала.

Устремляя в соотношении (5.4), можем сделать ошибку усечения ряда в пределе сколь угодно малом и получим равенство:

(5.7)

Это равенство Парсеваля.

Если то (5.8)

Соотношение (5.8) свидетельствует о том, что полная энергия сигнала в интервале при разложении его в обобщен­ный ряд Фурье равна .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В качестве базисных функций, как было показано выше, может быть использована любая ортогональная система функции. Таких функций известно множество, однако, в технике связи и автоматики использу­ются гармонические функции, а также ряд специальных функций: Лагерра, Лежандра, Уолша, Бесселя и др.

Выбор базисной функции произ­водится из соображений:

1. Минимизации числа членов ряда N при достижении заданной точности представления сигнала обобщенным рядом Фурье. 2. Простотой аппаратурной реализации генерирования базисной функции.

5.2. Разложение сигнала в базисе гармонических функций

5.2.1. Экспоненциальный ряд Фурье

Пусть сигнал определен на интервале 0-t и является периодическим:

n=0, 1, 2, 3…

В качестве базисной функции возьмем экспоненциальную функции вида ,где .

Запишем ряд Фурье (5.1) в виде: (5.9)

Это экспоненциальный ряд Фурье.

Для вычисления необходимо найти , а также следует убедиться в том, что данная базисная функция удовлетворяет условию ортогональности.

Легко показать также, что при .

В самом деле:

Отметим еще раз, что T-период колебания. Учитывая сказанное, получим выражение для в виде:

(5.10)

5.2.2. Тригонометрический ряд Фурье

В инженерной практике чаще используется тригонометрическая

фор­ма ряда Фурье.

Из (5.10) следует, что -величина в общем слу­чае комплексная и может быть представлена в виде:

; ;

Запишем (5.9) в виде:

Суммируя по обе стороны 0-ые члены с одинаковыми индексами и учи­тывая, что , имеем

(5.11)

(5.11)- тригонометрическая форма ряда Фурье.

Представив

и обозначив

получим следующую модификацию тригонометрического ряда:

. (5.12)

Заметим, что

Разложение сигнала в ряд (5.9) и (5.12) представляет сигнал в виде вектора в многомерном пространстве, где члены ряда есть про­екции вектора на координатные оси x, y, z,… Координатные оси - орты и есть базисные функции.

В данном случае или .

ПРИМЕР 5.1

Разложить сигнал (рис.5.1),представляющий собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов, в экспоненциальный ряд Фурье. Длительность импульса, амплитуда U, период T.

Рис. 5.1

Вычислим коэффициенты ряда:

sinc x -интегральный синус ;

.

Подставив , получим: .

Учитывая, что sinc x функция четная: sinc x=sinc(-x) запишем экспоненциальный ряд Фурье в виде: .

5.3. Спектр периодического сигнала

Множество называется комплексным спектром периодического сигнала.

Множество составляет амплитудный спектр.

Множество составляет фазовый спектр.

Рассмотрим картину спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (см. пример 5.1).

При этом в качестве спектральных составляющих будем брать коэффициенты тригонометрического ряда Фурье, где модуль удваивается.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6