Элементы теории сигналов и частотный анализ линейных цепей (стр. 5 )

Реализация частотного метода базируется на представлении сигна­ла в виде его спектральной функции и использует частотную функцию цепи.

Суть спектрального метода заключается в следующем: спектральная функция отклика равна произведению спектральной функции воздействия на частотную функцию цепи :

(5.27)

Доказательство:

в соответствии с представлением электрической цепи, как динамической системы, отклик и воздействие связаны диф­ференциальным уравнением:

(5.28)

- отклик; - воздействие; коэффициенты отражают параметры и конфигурацию цепи.

Применив к правой и левой части (5.28) операцию прямого преобразования Фурье и учитывая тео­ремы сложения и дифференцировании, получим:

(5.29)

Преобразуем (5.29)

(5.30)

обозначим сомножитель:

и окончательно запишем (5.30) в виде:

(5.31)

Соотношение (5.31) является формулой частотного (спектрального) метода анализа отклика линейной цепи на заданное воздействие. Вре­менная форма отклика может быть получена с помощью обратного пре­образования Фурье:

(5.32)

ПРИМЕР 5.7

Определить отклик цепи (рис.5.23) на заданный сигнал:

Рис. 5.23

1.Вычислим

2. Вычислим частотную функцию цепи:

3. Вычислим

Как уже упоминалось выше, дает возможность отве­тить на ряд вопросов, важных с технической точки зрения: ширина полосы выходного сигнала, степень искажения и др.

Однако можно определить и временную форму отклика:

Вычисление полученного интеграла модно упростить, используя связь между преобразованием Фурье и преобразованием Лапласа.

Заменим на , тогда:

,

для перехода к оригиналу используются, например, таблицы преобра­зования Лапласа, формула разложения или теорема вычетов.

Приведем полученное изображение к табличному виду, в результа­те получим:

Путем несложных алгебраических преобразований данное выражение приводим к следующему виду:

Активная длительность импульса и эффективная ширина спектра сигнала.

Активная длительность заданного импульса определяется как интервал времени, в котором сосредоточена основная часть энергии сигнала (90-95%), т. е. активная длительность может быть опреде­лена соотношением:

Эффективная ширина спектра сигнала определяется ,как интервал частот, в котором сосредоточена основная часть энергии сигнала (90-95%) и в соответствии с теоремой Парсеваля опре­деляется соотношением:

.

(предполагается, что ; -нижняя частота спектра).

Для сигналов, энергия которых сконцентрирована в ограниченном интервале частот - прямоугольный, колокольный импульсы и др., вводит­ся постоянная ,где - принятая ширина полосы сигнала;- активная длительность импульса.

Для технически реализуемых импульсов колеблется в интервале 0,5 ~ 1, что может служить критерием при оценке ширины полосы при заданной длительности импульса, однако в ряде специальных случаев, например в измерительной технике, ког­да нужно воспроизвести форму сигнала с высокой точностью, бе­рется больше единицы.

5.8. Условие неискаженной передачи сигналов в линейной цепи

Сигнал передается линейной цепью без искажений, если не изме­няется его временная , а следовательно, и частотная формы.

Неизбежными являются только запаздывания сигнала при прохождении через линейный четырехполюсник, например длинную линию, и измене­ние его уровня за счет затухания или усиления.

Таким образом, линейная цепь является неискажающей, если

(5.33)

где - некоторый постоянный коэффициент; - время задержки сигнала в цепи.

Рассмотрим требования к АЧХ и ФЧХ цепи, при которых выполняется условие (5.33).

Используем метод спектральной функции:

(5.34)

Для выполнения условия (5.33) в соответствии с теоремой запазды­вания должно соблюдаться равенство:

= (5.35)

Подставляя в левую часть (5.34) выражение (5.35), получим:

отсюда

(5.36)

Итак, для неискаженной передачи сигнала АЧХ (модуль цепи должен быть равен 1, а ФЧХ (фаза ) должна изменяться пропорционально и равна ).

В самом деле, указанные выше требования технически невыполни­мы в широком диапазоне частот, да в этом и нет необходимости, так как ширину полосы сигнала можно ограничить верхней частотой или интервалом частот: , где и -соответственно верхняя и нижняя частоты спектра сигнала.

Кроме того, как было упомянуто выше, в цепи может иметь место затухание или ослабление сигнала, которые не искажают форму сиг­нала, но изменяют его уровень. Учитывая вышеизложенное, сформули­руем требования к следующим образом: для неискаженной передачи сигнала с полосой, ограниченной в интервале (), модуль в заданном интервале частот должен быть равен по­стоянной величине , а фазовая характеристика должна изменяться пропорционально частоте соответственно групповое время запаздывания т. е. времени запаздывания. (рис.5.24,а, б,в)

Рис.5.24

5.9. Связь между временными и частотными функциями цепи

Как было указано выше, временные свойства линейных цепей, характеризующие переходные процессы в них, описываются временными функциями , частотные свойства цепи описываются ее частотной функцией .

Установим связь между частотными и временными функциями линейных цепей на следующем примере:

Подадим на вход линейной цепи (рис.5.25),заданной частотной функцией , единичный импульс и найдем отклик спектральным методом.