Рис. 5.14
Определим 
в точке 
.
Представим 
в виде:
(5.23)
Первое слагаемое (5.23) равно 0 при 
и, одновременно, при обращается в 
, но мы можем вычислить площадь функции, которая при всех значениях 
- постоянная величина.
В самом деле:
.
Для фиксации площади в точке умножим полученный результат на 
Таким образом, окончательно:
.
Данное выражение характеризует спектральную плотность сигнала во всей области частот: 
.
5.6.2. Спектр единичного импульса 
,(*)
*- см. фильтрующее свойство 
- функции.
На рис. 5.15 изображен график спектра 
Рис. 5.15
Итак, модуль спектра единичного импульса равен единице в пределах 
и энергия спектра в соответствии с равенством Парсеваля равна , что еще раз свидетельствует о том, что единичный импульс является математической идеализацией и технически реализован быть не может.
Смещенный на 
единичный импульс.
, (*)
*-см. теорему запаздывания.
Используя обратное преобразование Фурье (5.18), получим весьма полезное соотношение:
. (5.24)
В самом деле:
5.6.3 Спектр сигнала, умноженного на экспоненту
.
5.6.4. Спектр экспоненциального сигнала
Как было показано в п. п.5.6.2,
,
произведя в (5.24) замену 
, получим
. (5.25)
Выражение (5.25) используется для определения спектра гармонического сигнала.
5.6.5. Спектр гармонического сигнала
Напоминаем, что
Рис.5.16
Можно показать также, что, если 
,
то 
.
Итак, спектр гармонического колебания дискретный и содержит две составляющие:
-(см. рис. 5.16).
Рассмотренные выше спектры типовых сигналов позволяют решать задачи, связанные с вычислением спектров сложных сигналов.
ПРИМЕР 5.4
Вычислить спектр тонального телеграфного импульса (рис. 5.17).
Рис. 5.17
- огибающая гармонического колебания - прямоугольный импульс с амплитудой 
и длительностью 
(на рис.5.17 огибающая изображена пунктирной линией).
Вычислим спектр огибающей:
,
Используя результаты п.5.6.3, можем непосредственно записать: 
Модуль спектра сигнала 
изображен на рис.5.18.
Рис. 5.18
Из рис.5.18 видно, что умножение сигнала на гармоническое
колебание с частотой 
переносит его спектр на частоту вдоль оси 
, при этом и зеркальное отображение спектра исходного сигнала или часть его (в зависимости от величины ) оказываются в области положительных частот, т. е. спектр может быть в 2 раза шире при 
.
ПРИМЕР 5.5
Вычислим спектр амплитудно-модулированного АМ колебания при модуляции монохроматическим сигналом с частотой 
.
М - коэффициент модуляции; - модулирующая частота, -несущая частота. Разложим 
на составляющие:
Используя результаты п.5.6.5, запишем спектр заданного сигнала в виде:
Модуль спектра АМ колебания изображен на рис.5.19.
Рис. 5.19
"Зеркальная" часть спектра в области отрицательной частоты физического смысла не имеет, но ее необходимо учитывать при переходе к временной форме, используя обратное преобразование Фурье.
ПРИМЕР 5.6
Вычислить спектр пакета равноотстоящих импульсов (рис. 5.20).
Рис. 5.20
- амплитуда импульсов,
- длительность, 
- межимпульсный интервал, 
- число импульсов в пакете.
Спектр данного сигнала получим, используя известное выражение для спектра одиночного прямоугольного импульса, теоремы запаздывания и сложения.
Обозначив спектр одиночного прямоугольного импульса 
,получим:
(5.26)
Легко видеть, разлагая 
по формуле Эйлера на 
и 
, что на частотах 
, где К = 0,1... все слагаемые в скобках (5.26) равны единице и 
На частотах 
выражение в скобках обращается в нуль. Во всех остальных точках имеет место геометрическая сумма слагаемых.
График модуля спектра при 
изображен на рис.5.21.
Рис. 5.21
На рис.5.21 пунктирной линией нанесена огибающая спектра одиночного импульса.
При увеличении пики спектральной функции увеличиваются и сужаются, и при очень большом сплошной спектр вырождается в дискретный, что логично, так как уже будет почти периодическим сигналом (см. рис.5.22).
Рис.5.22
5.7. Частотный (спектральный) метод анализа линейных цепей
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
