Элементы теории сигналов и частотный анализ линейных цепей (стр. 3 )

2.Размерность спектра непериодического сигнала: [размерность сигнала ].

Таким образом, спектр непериодического сигнала можно трактовать, как плотность амплитуд мгновенных значений тока или напряжения на единицу частоты.

3.Кривая спектра непериодического сигнала совпадает с огибаю­щей спектра периодического сигнала такой же формы с учетом мас­штабного коэффициент.

Сравнительная характеристика спектров периодического и неперио­дического сигналов.

Периодический сигнал

-дискретная функция.

Непериодический сигнал

; -непрерывная функция .

Огибающиеи совпадают (с точностью до масштабного коэффициента) (рис.5.12,а, б).

Рис.5.12

Физический смысл:

- амплитуда мгновенного значения колебания тока или напряжения частоты .

- плотность амплитуд тока или напряжения на единицу частоты.

5.5. Основные теоремы о спектрах

5.5.1. Теорема линейности

Спектр суммы сигналов равен сумме спектров слагаемых сигналов.

Доказательство:

Следствие: если ,то .

Иногда данное следствие называют теоремой пропорциональности.

5.5.2. Теорема запаздывания

Спектр сигнала, запаздывающего на фиксированное время

(рис. 5.13), равен спектру исходного сигнала, умноженного на .

Рис. 5.13

Доказательство:

Производим замену переменных интегрирования:

Представляя и в показательной форме и выделяя модуль и фазу, получим:

Отсюда следует важный вывод, что при передаче сигнала по неискажающей (идеальной линии) имеет место только запаздывание сигна­ла, определяемое временем его распространения вдоль линии , при этом модуль спектра сигнала остается без изменения, а фазовый сдвиг изменяется на величину , т. е. прямо пропорционально

5.5.3. Теорема сжатия (изменения масштаба)

При изменении длительности сигнала в раз модуль и аргумент комплексного спектра изменяются обратно пропорционально .

Пусть (при - имеет место сжатие сигна­ла,

при - расширение сигнала), тогда .

Доказательство:

Произведя замену переменных

,

получим:

Из данной теоремы следует практически важный вывод: при сжатии сигнала спектр его расширяется прямо пропорционально коэффициенту сжатия, а модуль уменьшается в раз.

5.6.4. Теорема о спектре произведения двух сигналов (теорема свертки)

Спектр произведения двух сигналов равен свертке этих сигналов.

Пусть

тогда (5.19)

Правая часть выражения (5.19) называется интегралом свертки функций и и имеет специальное обозначение:

.

Доказательство:

(5.20)

Представим в виде:

и положим

Тогда соотношение (5.20) примет вид:

Учитывая, что

Запишем в виде:

(5.21)

Соотношение (5.21) и представляет собой свертку спектров сигналов и .

Аналогично можно показать, что, если то

т. е. произведению спектров двух сигналов соответствует свертка их временных функций.

Из теоремы свертки следует очень важный вывод:

положив в (5.21) и заменяя на , получим

(5.22)

Если , то

- полная энергия сигнала.

Tогда, учитывая (5.22), можно записать:

Так как функция четная относительно ,

то - равенство Парсеваля.

5.5.5 Теорема дифференцирования

(Доказательства теорем п. п. 5.5.5 и 5.5.6 см.,например, в [4]).

Если при , т. е. имеет затухающий с течением времени сигнал,

то при .

5.5.6. Теорема интегрирования

Если , то

5.6. Спектры некоторых типовых сигналов

5.6.1. Спектр единичной функции включения

.

Интеграл в правой части не определен, так как функция в бесконечности не определена.

Применим следующий искусственный прием: представим заданный сигнал в виде ;

- некоторая фиксированная постоянная, которую затем устре­мим к нулю.

Итак, для единичного скачка при (см. рис. 5.14), однако, для функция снова не определена.