Исследовательская работа по геометрии по теме «Многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника» 8 класс.
Цель: Закрепление знаний при определении многоугольника. Вывод формулы суммы углов многоугольника.
Определение. Многоугольником называется фигура, составленная из отрезков таким образом, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
1. Обозначить фигуры. Пользуясь определением, исследовать фигуры и сделать вывод какие фигуры являются многоугольником, какие не являются. Данные занести в таблицу.
№ фигуры | Ход рассуждений | вывод |
Вывод формулы суммы углов выпуклого многоугольника вытекает из ранее полученных знаний о сумме углов произвольного треугольника.
1. Составить выпуклый многоугольник из 2- х треугольников.
 |
Так как сумма углов в треугольнике равна 180◦, то сумма
Углов в четырехугольнике равна 360◦ .
2. Составить выпуклый многоугольник из 3-х треугольников, 4-х и т. д.
Занести данные в таблицу:Фигура | Количество треугольников | Число сторон в многоугольнике | формула |
четырехугольник | 2 | 4 | 180(4-2) |
Пятиугольник | 3 | 5 | 180(5-2) |
шестиугольник | 4 | 6 | 180 |
семиугольник | 5 | 7 | 180 |
n - угольник | n -2 | n | 180 |
Решить задачи:
В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные - 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике? Какое количество вершин может иметь многоугольник, если величина каждого из углов менее 120 градусов?Решение: -------------------------------------------------------------------------------------------------
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника.
Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).
Значит, для нашего случая:
180(n-2)=3*80+x*150, где
3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит обозначим их количество как x.
Однако, из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то очевидно, что x=n-3.
Таким образом уравнение будет выглядеть так:
180(n-2)=240+150(n-3)
Решаем полученное уравнение
180n - 360 = 240 + 150n - 450
180n - 150n = 240 + 360 - 450
30n = 150
n=5
Ответ: 5 вершин
2.Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника.
Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех углов равна 180°(n-2).
Значит, для нашего случая необходимо сначала оценить граничные условия задачи. То есть, сделать допущение, что каждый из углов равен 120 градусам. Получаем:
180(n-2)=120n
180n - 360 = 120n
180n - 120n = 360 (это выражение рассмотрим отдельно ниже)
60n = 360
n=6
Исходя из полученного уравнения, делаем вывод: при величине углов менее 120 градусов, количество углов многоугольника менее шести.
Объяснение:
Исходя из выражения 180n - 120n = 360 , при условии, что вычитаемое правой части будет менее 120n, разность должна быть более 60n. Таким образом, частное от деления всегда будет менее шести.
Ответ: количество вершин многоугольника будет менее шести.
