Конспект лекций по начертательной геометрии тема: линии

Министерство образования и науки Самарской области

государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Самарской области

«ТОЛЬЯТТИНСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

ТЕМА: ЛИНИИ

Составитель: ,

преподаватель ГАПОУ СО «ТМК»

Тольятти, 2017

Содержание

Введение	3
1 Пространственные кривые	4
2 Плоские кривые	5
3 Классификация точек плоской кривой	6
4 Ортогональные проекции линии	8
5 Свойства кривых	9
6 Ортогональные проекции винтовой линии	9
Приложения	11

Введение

В начертательной геометрии линию рассматривают как траекторию перемещения точки или линия – это непрерывное множество точек.

 

Рисунок 1

Так как точка размер не имеет, то есть бесконечно малый, тогда положение точки от начала движения по заданной траектории зависит от непрерывно меняющей величины d (расстояние от точки до начала координат), то есть приняв d за параметр. Можно сделать заключение – линия есть непрерывное однопараметрическое множество точек.

Линии

 

алгебраические трансцендентные

 

описаны алгебраическим описаны трансцендентными

уравнением: уравнениями:

эллипс, синусоида,

парабола, спираль Архимеда,

гипербола, циклоида,

астроида и др. эпициклоида и др.

Линии могут быть пространственными и плоскими.

Пространственными или линиями двоякой кривизны называют линии, все точки которых не принадлежат одной плоскости.

Плоские - линии, все точки которых принадлежат одной плоскости.

Если алгебраическое уравнение, описывающее линию n-степени, то и кривая считается n-го порядка.

Простейшей линией является прямая.

1 Пространственные кривые

 

Рисунок 2

а) Касательные и нормали к пространственной кривой.

Дана пространственная кривая l. Возьмём произвольную точку М и проведем через нее секущие МА и МВ. При приближении точки А к точке М касательная МА будет поворачиваться вокруг точки М и при совпадении точек А и М достигает своего предельного положения (луч t1).

Предельное положение секущей в точке М называется полукасательной к кривой l в точке М.

 

Рисунок 3

При совпадении точек В и М – полукасательная t2. Полукасательные t1 и t2 образуют прямую – касательную к кривой l в точке М.

Проведем через МА и полукасательную t1 плоскость d1, а через точки М и В – d2. при совпадении точек А, М и В полуплоскости d1 и d2 будут поворачиваться и займут предельное положение, образуя плоскость d, которую называют соприкасающейся плоскостью пространственной кривой в заданной точке. (касательная плоскость).

Соприкасающаяся плоскость связана с движущейся точкой М и все время меняет свое положение.

К пространственной кривой в любой ее точке можно провести множество перпендикулярных к ней прямых нормалей, которые образуют плоскость, называющуюся нормальной плоскостью.

Нормаль, принадлежащая плоскости d - nd называется главной нормалью. Другая нормаль, перпендикулярная плоскости d называется бинормалью n.

Бинормаль и касательная tm образуют плоскость γ – спрямляющая плоскость.

Три взаимноперпендикулярных плоскости α,β,γ, проходящие через одну точку М пространственной кривой, образуют подвижный прямоугольный трехгранник или трехгранник Френе.

Трехгранник Френе используют в качестве системы плоскостей проекций, на которую проецируют кривую для изучения её свойств.

 

Рисунок 4

2 Плоские кривые

Рассмотрим некоторые из них:

1)  эллипс: уравнение – Х /а + У /в = 1

Алгебраический порядок кривой определяется высшей степенью её уравнения. Геометрический порядок кривой есть число точек пересечения прямой с кривой линией.

Рисунок 5

Свойства: сумма расстояний от любой точки этой кривой до фокусов есть величина постоянная.

F1•M+M•F2=2a,

где a – большая полуось эллипса:

b – малая полуось эллипса

если a=b – эллипс – окружность.

2)  гипербола – это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух точек (F1 и F2)есть величина постоянная.

F1•M - M•F2=2a

АВ – асимптоты гиперболы

Рисунок 6

3)  парабола – это геометрическое место точек, равноудаленных от прямой и фокуса.

MK=MF

NK – директриса

Р- параметр параболы

Уравнение:y2=2px (x2=2py)

Примечание: определение касательной в точке плоской кривой – аналогично с построением пространственной кривой.

Отличие: плоская кривая в каждой точке имеет только одну нормаль, перпендикулярную к касательной в данной точке и принадлежащую плоскости кривой.

Рисунок 7

3 Классификация точек плоской кривой

Вид кривой l вблизи некоторой точки М (рисунок 3) с единственной касательной t зависит от характера движения точки вдоль касательной и направления поворота касательной. Если характер движения точки М вдоль кривой и направление поворота касательной не меняются, то кривая называется плавной.

Рисунок 8

Если направление движения точки М и поворот касательной t меняются, то имеют место особые точки (характерные). При построении проекций кривой необходимо их указывать.

Рассмотрим некоторые из них.

М – точка перегиба (две ветви кривой расположены по разные стороны от общей касательной t и нормали n).

Рисунок 9

М – точка возврата первого рода (заостренная точка).

Две ветви кривой располагаются по одну сторону от нормали n и по разные стороны от касательной t.

Рисунок 10

М – точка возврата второго рода. Две ветви кривой располагаются по одну сторону от нормали n и касательной t.

Рисунок 11

М – угловая точка : направление кривой l и касательной к ней изменяется скачком и точка М имеет две касательные и две различные нормали.

Рисунок 12

М – узел или многократная точка, а и б – двойная точка, в – тройная точка.

Рисунок 13

В узловой точке кривая пересечет саму себя. В зависимости от числа пересечений узловые точки могут быть: двойными, тройными и т. д.

Рисунок 14

М – точка самоприкосновения (кривая встречает сама себя, но обе касательные совпадают).

4 Ортогональные проекции линии

В начертательной геометрии кривые линии изучаются по их проекциям. Для построения ортогональной проекции кривой необходимо построить проекции ряда точек, принадлежащих этой кривой и соединить их между собой соответственно.

При задании кривой ее проекциями необходимо указать проекции по крайней мере одной точки, принадлежащей кривой, иначе трудно судить о форме этой кривой (рисунок 15).

 

Рисунок 15

По двум ортогональным проекциям кривой нельзя ответить на вопрос о виде кривой (пространственная или плоская точка). Чтобы установить, какая кривая задана на эпюре, необходимо выяснить, принадлежат ли все точки кривой одной плоскости или нет.

α (А, В, С)

А принадлежит l

В принадлежит l

С принадлежит l

М принадлежит l

Рисунок 16

Заданная на рисунке 16 кривая пространственная, т. к. точка М, взятая на кривой, не принадлежит плоскости α, определяемой тремя точками (А, В, С) этой кривой.

5 Свойства кривых

При построении ортогональных проекций кривых необходимо знать те свойства кривых, которые сохраняются при проецировании. К ним относятся:

1) касательные к кривой проецируются в касательные к её проекции;

2) несобственным точкам кривой соответствуют несобственные точки ее проекции;

3) порядок проекции алгебраической кривой равен порядку самой кривой;

4) число узловых точек на проекции кривой равно числу узловых точек самой кривой.

6 Ортогональные проекции винтовой линии

Из пространственных кривых в технике нашли широкое применение винтовые линии.

Винтовая линия – это траектория точки движущейся по прямой, в то время как эта прямая вращается вокруг неподвижной оси.

Смещение точки вдоль прямой за один оборот вокруг оси называется шагом винтовой линии.

Если прямая параллельна оси вращения – цилиндрическая винтовая линия. Если движение точки и вращение вокруг оси равномерное, то винтовая линия называется гелисой.

Конические

Цилиндрические

Винтовые линии

Левые и правые

Пример построения цилиндрической и конической винтовой линии даны в приложении В.

Приложение А

Пример1: Построить касательную к кривой l, проходящей через точку А, не принадлежащую кривой.

Рисунок 16

Проведём через точку А ряд секущих а1, а2, … , а4.

Точки 1, 2, … , 4, 11, 21, … , 41 – точки пересечения секущих а1, … , а4 с кривой l.

Через середины полученных хорд проведём плавную кривую m(это кривая «ошибок»)

m∩l => M – точка касания, а AM≡t – искомая касательная.

Пример 2: Построить касательную к кривой в заданной точке

Рисунок 17

Проведём произвольную прямую b, примерно ┴ к искомой касательной, а через точку М ряд секущих а1, а2, … , а5, так чтобы они пересекали и кривую l и прямую b

a1∩l ; a1∩b => 1

a2∩l ; a2∩b => 2,… ,a5∩l ; a5∩b => 5

[1M]=[11’] [2M]=[22’]…[5M]=[55’]

От точек пересечения секущей а1, … , а5 с прямой b отложим отрезки равные хордам, при этом длины хорд, расположенные по разные стороны от точки М отложим с разных сторон от b. Полученные точки 1’…5’ соединим плавной кривой m

m∩b => A, точка А принадлежит t, следовательно соединив точку М с точкой А получим искомую касательную t

Приложение Б

 

Рисунок 18 Рисунок 19

Приложение В

 

Рисунок 20