Администрация Волжского района муниципального образования «Город Саратов»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ГИМНАЗИЯ № 4»

Применение геометрических методов при решении текстовых задач на движение

Автор работы:

Саковец Александра, 9а класс,

МОУ «Гимназия № 4»

Руководитель:

,

учитель математики

МОУ «Гимназия № 4»

Саратов,

2009 год

СОДЕРЖАНИЕ

1.Введение

2.Задачи на движение

3.Заключение

4. Литература

ВВЕДЕНИЕ

Тема работы посвящена одному из разделов алгебры «Текстовые задачи».

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый из выбранных методов является далеко не всегда удачным. Нахождение «наиболее простых», оригинальных путей решения нередко является результатом длительной и кропотливой работы.

Текстовая задача часто оказывается самой трудной задачей. Здесь, помимо формальных знаний, необходимо иметь опыт и интуицию. Одним из возможных путей устранения обозначенной проблемы является изучение различных приемов решения текстовых задач.

Задачи на движение.

1)  Рассмотрим несколько задач на движение из сборника для подготовки к итоговой аттестации под редакцией , которые решим двумя способами – геометрическим (с использованием метода подобия), и алгебраическим.

Задача 1 (№ 7.16). Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов A и B, расстояние между которыми 5 км. Через 30 мин туристы встретились, не останавливаясь, продолжили путь с той же скоростью. Первый прибыл в пункт B на 25 мин позже, чем второй в пункт A. Определите скорость каждого туриста.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

I способ. Пусть х км/ч – скорость первого туриста, a y км/ч – скорость второго туриста. По условию задачи, х>0, y>0. До места встречи за 0,5ч первый турист прошёл 0, 5х км, а второй – 0,5y км. Зная, что весь путь равен 5 км, составим первое уравнение: 0, 5х + 0, 5y = 5.

На весь путь I турист затратил ч, а II турист - ч. Зная, что t1>t2 на ч, составим второе уравнение: - =

Решим систему уравнений:

0, 5х + 0, 5y = 5

- =

х>0, y>0

Решая систему уравнений, получаем, х = 4, y = 6.

II способ. Построим графики движения туристов: АС- I туриста, ВМ – II туриста. Туристы вышли друг навстречу другу одновременно, и встретились через 0,5 ч., после чего продолжили свой путь. Отметим время в пути каждого туриста на координатной плоскости.

s, км

В Н С

O

 

А 0, 5 К x М t, ч

Пусть х ч – разница во времени между 2 туристами после встречи.

=> = => = ó = ó x =

=> =

v1 = = 4 (км/ч)

v2 = = 6 (км/ч)

Ответ: 4 км/ч, 6 км/ч.

Задача 2 (№ 7.34). Из пунктов А и В, расстояние между которыми 6 км, одновременно вышли два пешехода. После их встречи пешеход, шедший из А, пришёл в В через 24 мин, а шедший из В пришёл в А чрез 54 мин. На каком расстоянии от пункта А встретились пешеходы?

I способ. Пусть х км/ч – скорость первого туриста, у км/ч – скорость второго туриста. По условию задачи, х>0, y>0. Расстояние, которое прошёл первый турист после встречи, равно 0, 4х км, расстояние, пройденное вторым туристом, равно 0, 9у км. Зная, что расстояние между А и В равно 6 км, составим первое уравнение: 0,4х + 0,9у = 6. Расстояние, затраченное первым и вторым туристами, равно t1 = , t2 = соответственно. Зная, что t1 = t2, составим второе уравнение: = .

Решим систему уравнений:

0,4х + 0,9у = 6

=

х>0, y>0

Решая систему уравнений, получаем, что v1 = 6 км/ч, а v2 = 4 км/ч.

Sдо встречи = 6 * 0, 6 = 3, 6 (км)

II способ.

Построим графики движения туристов: АК- I туриста, ВМ – II туриста. Пусть х часов – время в пути каждого туриста до встречи (х>0). После встречи первый турист прибыл через 24 мин.=0,4 ч, а второй – через 54 мин.=0,9 ч.

 

s, км 0, 4

B H K

 

O

 

А х C 0,9 M t, ч

 

=> = = ó = ; x = 0, 6

=> =

Sдо встречи = 6 * 0, 6 = 3, 6 (км)

Ответ: 3, 6 км.

Задача 3 (№ 7.35). Из пунктов M и N одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Пешеход, шедший из M, прошёл до встречи на 1 км больше другого и пришёл в N через 48 мин после их встречи. Второй пешеход пришёл в M через 1 ч 15 мин после встречи. Найдите скорость каждого пешехода.

Способ I. Пусть х км/ч – скорость первого пешехода, а y км/ч – скорость второго пешехода. По условию задачи, х>0, y>0. Расстояние, которое прошёл первый турист после встречи, равно 0, 8х км, расстояние, пройденное вторым туристом, равно 1, 25у км. Зная, что, первый пешеход, шедший из M, прошёл до встречи на 1 км больше другого, составим первое уравнение: 1,25у - 0,8х = 1. Расстояние, затраченное первым и вторым туристами, равно t1 = , t2 = соответственно. Зная, что t1 = t2, составим второе уравнение: = . Решим систему уравнений:

1, 25у - 0, 8х = 1

=

х>0, y>0

Решая систему уравнений, получаем: x = 5, y = 4

Способ II. Пусть х ч – время движения пешеходов до встречи. Построим графики движения туристов: АК- I туриста, ВМ – II туриста.

s, км

H 0, 8 A

N

y

О

y+1

M x H' 1, 25 K t, ч

=> = ó = ; = ; x = 1 => =

t1 = 1, 8 ч, t2 = 2, 25 ч.

Из того же подобия следует, что = ; y = 4.

HH’ = 9 (км)

v1 = = 5 (км/ч)

v2 = = 4 (км/ч)

Ответ: 5 км/ч, 4 км/ч.

Задача 4 (№7.36). Турист и велосипедист одновременно отправились навстречу друг другу из пунктов A и B. Они встретились через 1, 5 ч, после чего каждый продолжил движение в своём направлении. Велосипедист прибыл в пункт А через 2 ч после выезда из B. За какое время прошёл путь от А до В турист?

Способ I. Пусть х км/ч – скорость туриста, а y км/ч – скорость велосипедиста. По условию задачи, х>0, y>0. До встречи за 1, 5 ч турист и велосипедист прошли расстояния, равные 1, 5х км и 1,5y км соответственно. Велосипедист прошёл весь путь за 2 ч, следовательно, весь путь равен 2y км. Следовательно, 1, 5х + 1,5y = 2y ó = 3. Время пути туриста равно:

tт = = 2 * 3 = 6 (ч)

Способ II. Пусть х ч – время в пути второго туриста после встречи. Построим графики движения туристов: АК- I туриста, ВС – II туриста.

B Н K

O

1, 5 0, 5 x

М

A 2 C t, ч

Из подобия треугольников АОМ и КОН, СОМ и ВОН следует, что , откуда

= ; 2 = 0, 5x ó x = 4

tт = 0, 5 + 1, 5 + 4 = 6 (ч)

Ответ: 6 ч.

2) Рассмотрим несколько задач на движение из сборника для подготовки к экзаменам под редакцией .

Задача №1. Первый пешеход может пройти расстояние между двумя пунктами на 5 часов быстрее, чем второй. Если пешеходы выйдут из этих пунктов навстречу друг другу одновременно, то встретятся через 6 часов. За сколько часов каждый из них может пройти это расстояние?

Решим задачу сначала стандартным школьным способом.

I способ. Пусть первый пешеход может пройти все расстояние за х ч, тогда второй может пройти это расстояние за (х + 5) ч. В час первый пешеход проходит второй , а вместе они проходят этого расстояния. Составим уравнение.

Перенеся все слагаемые в левую часть уравнения, после преобразований получим уравнение.

Решив уравнение

х2 – 7х – 30 = 0, (2)

Получим корни х1 = 10; х2 = –3, не обращающие в нуль знаменатель дроби в уравнении (2).

Так как по смыслу задачи х > 0, то х = 10, а х + 5 = 15.

Итак, первый пешеход может пройти все расстояние за 10 ч, а второй за 15 ч.

II способ. Теперь воспользуемся методом, который будем называть методом подобия (геометрический метод).


Пусть первый пешеход может пройти все расстояние за х ч, тогда второй – за (х + 5) ч. Построим графики движения этих пешеходов. Так как движение равномерное, то графики являются отрезками.

На рисунке 8 отрезки CD и AB изображают промежутки времени движения от одного пункта до другого первого и второго пешеходов соответственно. Отрезок MN изображает промежуток времени движения пешеходов до встречи. Поэтому

CD = x, AB = x + 5, MN = 6, KD = x – 6, PB = x – 1.

Так как ∆ CKN ~ ∆ BPN и ∆DKN ~ ∆APN по двум углам, то и т. е. Составим уравнение: (х-1)(х-6)=36; х2 – 7х – 30 = 0,

Получим корни х1 = 10; х2 = –3, не обращающие в нуль знаменатель дроби в уравнении

Так как по смыслу задачи х > 0, то х = 10, а х + 5 = 15.

Ответ: 10 ч и 15 ч.

Задача №2. Из пункта M в пункт N выходит первый пешеход, а через 2 ч навстречу ему из пункта N в пункт M выходит второй пешеход. К моменту встречи второй пешеход прошел от расстояния, пройденного к этому моменту первым пешеходом. Сколько часов требуется первому пешеходу на весь путь от M до N, если второй пешеход проходит от N до M за 7 ч?

I способ. Пусть второй пешеход шел до встречи t ч. Он прошел всего пути. Тогда на весь путь он затратит ч, что по условию задачи равно 7 ч. Составим уравнение:

откуда Первый пешеход до встречи прошел пути за t + 2, или (ч). Значит, весь путь он пройдет за (ч).

II способ. Построим графики движения пешеходов.


 

Пусть первый пешеход был в пути x ч, тогда AB = x, CA = x – 2. Второй пешеход был в пути 7 ч, значит, OD = 7 + 2 = 9. Из подобия треугольников ACN и ODN следует, что (По условию задачи, . Составим уравнение: откуда x = 9.

Первый пешеход пройдет весь путь за 9 ч.

Ответ: 9 ч.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При решении многих задач на движение требуется введение целого ряда неизвестных и составление системы из нескольких уравнений. В целях экономии времени удобно рассмотреть решение задачи графическим методом.

Не всегда график облегчает поиск решения, иногда быстрее и легче прямым путем составить уравнение, описывающее условие задачи, и затем решить полученную систему. Но разбор таких задач все-таки следует начинать с построения графиков.

В приведенных примерах использование графиков приводит к простым и красивым решениям. Кроме того, этот способ является прекрасным средством реализации межпредметных связей между алгеброй, геометрией и физикой. Абстрактные графики, изучаемые в алгебре, наполняются новым содержанием, конкретизируются в ходе познавательной деятельности учащихся.

Значимость данной работы.

В заключении хочется сказать, что приведенные задачи, разумеется, можно решать и другим методом. Однако применение геометрического метода, представленного в работе, помогает быстрее справиться с решением текстовой задачи на движение.

Список использованной литературы.

В. Булынин Графические методы решения текстовых задач «Математика в школе», №14, 2005г «Сборник задач по алгебре». «Сборник задач для поступающих в вузы. «Квант», №7, 1970г. Шабунин для поступающих в вузы. Шарыгин задач. Факультативный курс по математике. «Текстовые задачи».