Специальная математика (стр. 2 )

7.1. Понятие формальной грамматики........................................................................... 75

7.2. Деревья вывода.......................................................................................................... 76

7.3. Классификация языков по Хомскому..................................................................... 77

7.4. Распознающие автоматы.......................................................................................... 78

7.5. Понятие транслятора................................................................................................ 79

7.6. Основные функции компилятора........................................................................... 80

Лексический анализ..................................................................................................... 80

7.7. Переход от недетерминированного распознающего автомата к......................... 80

детерминированному................................................................................................... 80

7.8. Переход от праволинейной грамматики к автоматной........................................ 81

7.9. LEX............................................................................................................................. 81

7.10. Детерминированные автоматы с магазинной памятью (МП-автоматы).......... 83

7.11. Транслирующие грамматики................................................................................. 85

7.12. S и q - грамматики................................................................................................... 85

7.13. LL(1) - грамматики.................................................................................................. 86

(left - leftmost)............................................................................................................... 86

7.14. Метод рекурсивного спуска................................................................................... 87

7.15. LR - грамматики...................................................................................................... 88

(left - rightmost)............................................................................................................. 88

7.16. Функции предшествования................................................................................... 91

7.17. Атрибутные грамматики........................................................................................ 92

7.18. YACC....................................................................................................................... 93

7.19. Область действия и передача параметров............................................................ 94

7.20. Генерация выходного текста. Польская инверсная запись................................ 95

7.21. Оптимизация программ.......................................................................................... 98

8. Функциональное программирование............................................................................ 99

9. Логическое программирование.................................................................................... 102

Язык Пролог................................................................................................................... 102

10. Объектно-ориентированное программирование...................................................... 103

Заключение......................................................................................................................... 107

Литература.......................................................................................................................... 108

Введение

Специальная математика – это некоторые разделы современной математики. Речь идет о математическом аппарате, который помогает расширить возможности математического описания или, выражаясь изящнее – математического моделирования, сложных систем. Далеко не все задачи, которые возникают в сложных системах, включающих человека, можно свести к задачам механики или математического анализа, традиционно называемого в технических вузах «высшей математикой».

Самостоятельное значение имеют математические проблемы теоретического и практического программирования.

Последние сто лет интенсивно развивались разделы математики, многие из которых часто объединяют общим названием дискретная математика, хотя деление на дискретную и непрерывную математику более чем условно. (Возьмите множество всех подмножеств эталонного дискретного множества – множества натуральных чисел, и вы получите мощность базового для традиционного математического анализа множества - множества действительных чисел).

Так что чисто формально нет непреодолимой пропасти и антагонизма между дискретной и непрерывной математикой. Всякий инструмент хорош для решения задач, на которые он ориентирован. Вопрос удобства, эффективности использования и адекватности того или иного математического аппарата вообще до определенной степени вопрос субъективный.

А что касается классификации, то относить ли, например, теорию графов к дискретной математике или к топологии – тоже вопрос. Отнесение к дискретной математике теории групп еще более условно.

Задача данного курса состоит в выработке навыков формализации физических сущностей с помощью различных «диалектов» современного математического языка. И наоборот, интерпретации полученных математических результатов.

Содержательный аспект обычно предшествует формализации и имеет для нас значение при осмыслении результатов математических манипуляций.

Так что акцент в большей степени сделан на понятийной, а не вычислительной стороне ряда разделов математики.

1. Теория множеств

1.1 Понятие множества

Множество - фундаментальное неопределяемое понятие. Множество понимается как объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью.

Теорию множеств можно подразделить на аксиоматическую и интуитивную (наивную).

Аксиоматическая теория исходит из того, что множество определяется совокупностью аксиом, записанных обычно на языке логики (предикатов). Интуитивная теория множеств апеллирует к интуиции, к базовому понятию принадлежности элемента множеству, то есть к интуитивной понятности отношения принадлежности Î ( а Î A - элемент а принадлежит множеству A).

Для интуитивного понятия множества существенны два момента, следующие из "определения":

1. Различимость элементов.

2. Возможность мыслить их как нечто единое.

Студенты образуют группу. Деревья составляют лес.

Целые числа составляют множество целых чисел.

Жители Марса - множество марсиан.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается Æ или {}. Обычно именно фигурные скобки используются для выделения множества (отсутствие элементов в скобках и говорит о том, что это пустое множество).

Множество, заведомо содержащее все рассматриваемые элементы, называется универсальным или универсумом - U.

Было бы опрометчиво говорить просто, что U содержит все элементы. К сожалению, имеют место так называемые парадоксы теории множеств. Самый знаменитый – парадокс Рассела, который показывает невозможность построить множество всех подмножеств, не содержащих себя в качестве элемента. Более прост в понимании парадокс брадобрея, которому приказано брить в тридевятом государстве всех тех и только тех, кто не бреется сам. Перед брадобреем неразрешимый вопрос:

Включать ли самого себя в множество тех, кого он обязан брить?!

Способы задания множеств:

A = {a, b, c, d} - задание множества явным перечислением элементов.

Например, гвардия = {Иванов, Петров, Сидоров}

B = {x | С(x)} - задание множества (характеристическим) свойством С(x).

Например, студенчество = {x | x - студент} - множество таких х, что х - студент.

Отношение включения Í . Множество А включено в множество В (А Í В) или А есть подмножество множества В, если из х Î А следует х Î В.

Например, студенческая группа Í студенты данной специальности

Отношение строгого включения Ì: Если A Í B и A ¹ B , то можно написать

A Ì B.

Например: Æ Ì множество отличников

Кстати, на что намекает это отношение?

Свойства отношения включения:

1. Рефлексивность: A Í A

2. Принцип объемности: A Í B и B Í A следует B = A (на основе этого принципа и доказывается равенство двух множеств).

3. Транзитивность: A Í B и B Í C следует A Í C

Полезные соотношения:

{ }= Æ ; 1 ¹ { 1 } ; {{ 1 }} ¹ { 1 } ; { а, в } = { в, а }

1.2. Операции над множествами

1. Объединение множеств A и B

A È B = { x | x Î A или x Î B } (или - неисключающее)

2. Пересечение множеств A и B

A Ç B = { x | x Î A и x Î B }

3. Разность множеств A и B

A \ B = { x | x Î A и x Ï B }

4. Симметрическая разность множеств A и B

A D B = { x | (xÎA и xÏB) или (xÏA и xÎB)}=( A \ B ) È ( B \ A )

5. Дополнение множества A

A = { x | x ÏA }

Пример.

Пусть А = {1, 2, 3} и B = {3,4}, тогда

A È B = {1, 2, 3, 4}

A Ç B = {3}

A \ B = {1, 2}

A D B = {1, 2, 4}

А = множество чисел кроме 1, 2, 3.

1.3. Диаграммы Эйлера - Венна

Диаграммы Эйлера-Венна позволяют представить множества, как множества точек на плоскости, оганиченные замкнутыми кривыми круглой или овальной формы. Прямоугольная рамка ограничивает универсум. Обычно, если не требуется иное, рисуют так называемый общий случай: когда каждое из множеств имеет свои собственные точки и точки, общие с другими множествами.