Блок Арифметическая и геометрическая прогрессия

Блочно – модульная технология преподавания математики.

Блок

bn= b1*qn

an= a1+α(n-1)

Выполнила учитель МОУ «СОШ

с. Питерка Питерского района

Саратовской области»

.

с. Питерка 2009 .

Цель: познакомить учащихся с понятиями арифметической и геометрической прогрессиями, вывести основные формулы по заданной теме к решению задач; воспитывать интерес к предмету; дополнительной литературе; развивать у учащихся внимание на уроке, привлекать учащихся к активной познавательной работе на уроке.

План урока.

1.  Организационный момент.

2.  Определение прогрессий.

3.  Формула n-ого члена прогрессии.

4.  Формула суммы n первых членов.

5.  Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

6.  Решение задач по теме.

7.  Обобщение.

8.  Итоги урока и задание на дом.

Содержание урока.

«Число-это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными.»

«Сущность вещей есть число, которое вносит во все единство и гармонию»

Пифагор

Учитель:

1.  Объявляю тему «Прогрессии», сообщаю количество часов, отводимых на ее изучение. А также количество часов на зачет, практикум, тесты, самостоятельную работу и т. д.

Поясняю, что означает термин «прогрессия» (от лат. «progressio», что означает движение вперед), был введен римским автором Боэцием в 6 веке н. э.

2.  Определение прогрессий.

Начинаю урок с того, что диктую несколько членов последовательности, а учащимся надо продолжить ее, написав еще 3 члена, осознав предварительно закон, по которому они составлены

1)  6; 8; 10… 2) 25; 21; 17… 3) -12, -9, -6… 4) 4; 4; 4 ;… 5) -2…*

Учитель:

Предлагаю назвать несколько последовательностей, которые отличаются от всех остальных. Постарайтесь сформулировать закон, по которому составлены остальные последовательности

; -3; -6… 1,7; -0,9; -0,1…

3-4n. ; … ; - арифметическая прогрессия

=+d, d=-, d – разность.

(*).

2; 6; 18. 2) 1; ; . 3) 3; -6; 12. 5) 2; 22; 23 6) придумывают учащиеся

b1; b2; b3… bn – геометрическая прогрессия. bn≠0, bn+1= bn*q, q – знаменатель геометрической прогрессии. q=

Определение (см. учебник)

3.  Формула общего члена прогрессии.

арифметической	геометрической
=+d	b2= b1*q
=+d=+2d	b3= b2*q= b1*q2
=+d=+3d	b4= b3*q= b1*q3
=+(n-1)d	bn= b1*qn-1

Замечательное свойство членов прогрессий:

арифметической	геометрической
3; 7; х; 15;	3; 6; х; 24
Найти х. Как найти? Заметим:
	*

4.  Сумма n членов.

a.  Арифметической прогрессии. 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 Внимание: Задача очень непроста Как сделать чтобы быстро От 1 до 100 Сложить в уме все числа 5 первых связок изучи Найдешь к решению ключи: 1+100=? 2+99=? 3+98=? 4+97=? 5+96=?

Давным давно один мудрец сказал что прежде надо связать начало и конец у числового ряда.

Исторические сведения о (1777-1855)

«О математике и математиках» стр. 91.

Вам предстоит найти еще один способ, чтобы найти сумму от 1 до 100.

S = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 S = 100 + 99 + … + 3 + 2 + 1 ___________________________ 2S=(1+100)*100 S=(1+100)*50

Аналогия. Найти сумму:

S =+ … + S= _____________________________ 2S = ()* n S = * n

Геометрической прогрессии.

Исторические сведения. Легенда об изобретателе шахмат Сете, который запросил в награду столько пшеничных зерен, сколько их получится если на каждую клетку шахматной доски класть зерен в 2 раза больше (см. «Живая математика» .)

S = 1 + 2 + 22 + … + 263 S*q = 2 + 22 +23 + … 264 _________________________________ S*q - S = 264 – 1 – масса такого числа зерен больше триллиона тонн.

Поэтому царь не выполнил просьбу Сеты).

Аналогия.

= + … + *q = + … + *q __________________________________ *q - = *q - *q - ,

5.  Бесконечная геометрическая прогрессия. Пример деления отрезка, см. учебник стр. 94. . а затем в общем виде q<1.

S = S = = = = - = ; 0

6.  Задачи, требующие определенных знаний по теме «Прогрессии».

1.  У меня имеется 16 двойных листов, пронумерованных от 1 до 16 с начала и от 16 до 1 от конца. Я снимаю двойные листы поочередно. На каком из них сумма указанных страниц будет наибольшей?

1.  Могут ли 3 члена арифметической прогрессии одновременно членами геометрической прогрессии? (прогрессии с неравными членами). 2.  Выписаны 2 арифметические прогрессии. Если у каждого члена 1-ой прогрессии вычесть соответствующий член 2-ой прогрессии, то получится ли снова арифметическая прогрессия? 3.  В 2-х трехчленных прогрессиях арифметической и геометрической одинаковы первый и последний члены. В какой из них сумма членов больше?

1.  Дан квадрат со стороной 4 см. В него вписан квадрат, вершинами которого являются середины сторон первого, во второй вписывается снова квадрат аналогично и т. д. Требуется найти сумму всех площадей квадратов. = 16, = 8… = 16 + 8+ 4 + 2 + …

Исторические справки. Сколько лет известно о геометрической и арифметической прогрессиях?

Примеры отдельных арифметических и геометрических прогрессиях можно встретить в древневавилонских и египетских надписях, имеющих возраст около 4 тысячелетий и более, а в Древней Греции за 5 столетий до н. э. были известны такие суммы

1 + 2 + 3 + … + n = (n+1) 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = 2 + 4 + 6 + … + 2n = n*(n+1)

А знаменитая задача о награде за изобретение шахмат встречается у аль-Бируши (973 – около 1050 г). 2 + 22 + … + 263 = 264 – 1

Широкое применение прогрессии находят в теоретических исследованиях и вычислительной технике – бесконечные ряды. Так известные функции sin и cos можно представить в виде суммы степенных рядов

sinx = x - + - + … cosx = 1 - + - + …

Решение задач древнеегипетского папируса Ахмеса (около 2 000 лет до н. э.) также сводится к знаниям арифметической и геометрической прогрессий.

1.  Имеется 7 домов, в каждом доме по 7 кошек, каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь съедает по 7 колосков, каждый из которых если посеять семя дает 7 мер зерна. Нужно посчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна. 2.  Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом равнялась 1/8 меры.

7.  Учащиеся ведут конспектирование на полном развороте тетради. Слева – арифметическая прогрессия, справа – геометрическая.

№	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
1	(): = + d, = + d, = + d, d = -	(): =*q,… *q, q=
2	+ (n-1)*d	*q
3	(): =	): = *
4	= +=… =+	**=*
5	S = * n S =	S = ; (q≠1) S = ; (q≠1)

Домашнее задание:теория (учебник и лекция)

Подведение итогов. Выставление оценок.

Используемая литература:

1.  «За страницами учебника алгебры.»,.

2.  «Внеклассная работа по математике»,, .

3.  «Живая математика »,

4.  Энциклопедия.

5.  «Школьникам о математике и математиках»,.