Глава 1. Случайные события (стр. 2 )

Пример 1.1.8.

В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены одинаковые призы?

Решение: если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок фильмов в комбинации 5 призов значения не имеет и число вариантов представляет собой число сочетаний с повторениями из 10 элементов по 5, определяемое по формуле (1.1.10):

Итоговая сводка формул приведена в следующей таблице.

Таблица 1.1.1.

Соединения	Размещения	Перестановки	Сочетания
Без повторений
С повторениями

Непосредственное вычисление вероятностей.

Случайным событием (или просто событием) называется такой исход опыта (испытания, эксперимента), который может произойти или не произойти в данных условиях.

События обозначаются буквами A, B, C, …

Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдёт; достоверное событие обозначается через . Например, если мы подбросим вверх камень, то он обязательно упадёт на Землю в силу действия закона всемирного притяжения, т. е. результат этого опыта заведомо известен.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдёт в результате проведения опыта; невозможные события обозначаются через . Например, при одном бросании монета не может одновременно выпасть орлом и решкой.

Достоверные и невозможные события, вообще говоря, не являются случайными.

Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление других. Например, сдавая экзамен по какой-то дисциплине, невозможно получить одновременно и отличную оценку – 5, и удовлетворительную – 3.

Несколько событий называются совместными, если в результате опыта наступление одного из них не исключает появления других. Например, при бросании трёх монет выпадение цифры на одной не исключает появления цифр на других монетах.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие (т. е. все события имеют равные «шансы»). Например, при бросании игральной кости появление каждой из её граней – события равновозможные.

Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Например, попадание и промах при одном выстреле. Событие, противоположное событию A, обозначается .

События образуют полную группу, если они попарно-несовместны и в результате каждого опыта появление одного и только одного из них является достоверным событием. Например, при покупке двух лотерейных билетов события:

– ни одного выигрышного;

– один билет выигрышный;

– два билета выигрышных

образуют полную группу событий.

Вероятность события численно характеризует степень возможности его появления в рассматриваемом опыте.

Вероятностью случайного события A называется отношение числа m благоприятствующих появлению этого события исходов опыта к общему числу n равновозможных исходов опыта, т. е.

, где P(A) – вероятность события A (1.2.1).

Это определение вероятности называют классическим. Из классического определения следуют свойства вероятности.

– положительное число, заключённое между 0 и 1, .

Если m=0, то =0 и событие невозможное.

Если m=n, то =1 и событие достоверное.

Пример 1.2.1.

В партии 10 деталей, из которых 7 стандартных. Наугад берётся 6 деталей. Найти вероятность того, что из них 4 окажутся стандартными.

Решение: По правилу произведения количество способов выбора 6 деталей есть – это количество благоприятствующих исходов m. Количество всех возможных исходов .

По формуле (1.2.1) получим

.

Пример 1.2.2.

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не превосходит 3.

Решение: Исходами, благоприятствующими наступлению данного события, являются (1;1), (1;2), (2;1), т. е. m=3; общее число исходов . Тогда .

Пример 1.2.3.

В коробке 6 синих, 4 красных и 5 зелёных карандашей. Наудачу вынимают 3 карандаша. Найти вероятность того, что все карандаши одного цвета.

Решение: Событие А – три карандаша, вынутых из коробки, одного цвета. Выбрать 3 карандаша из 15 можно способами. Выбрать 3 синих карандаша из 6 можно способами, 3 красных из 4 - способами, 3 зелёных из 5 - способами. По правилу суммы (1.1.1) общее число m случаев, благоприятствующих событию А, равно . Отсюда .

Обобщением понятия «классической вероятности» на случай опытов с бесконечным числом исходов является понятие «геометрической вероятности».

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т. д.).

 

y

 

g

Рис. (1.2.1)

 

x

G

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т. е.

(1.2.2)

Событие А – попадание брошенной точки в область g.

Пример 1.2.4.

В круг радиуса R вписан правильный треугольник. В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри треугольника.

R

Рис. 1.2.3.

Решение: Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга .

, .

Следовательно,

.

Рассмотрим статистическое определение вероятности.

Относительной частотой события А называется отношение числа испытаний m, при которых это событие появилось, к общему числу проведённых опытов n.

, (1.2.3).

При достаточно большом числе испытаний относительная частота обладает свойствами статистической устойчивости: значения частоты появления события А, полученные в результате многократных испытаний, колеблются около некоторого постоянного числа, которое и является вероятностью этого события.