Глава 1. Случайные события (стр. 4 )

; ; .

.

Пример 1.3.6.

Прибор состоит из 6 блоков: , изображённых на схеме

A1 A2

A5

b

a

a A3 b c d

A6

A4

Схема 1.3.1.

 

Вероятности отказов каждого блока соответственно равны .

Рассчитать вероятность безотказной работы прибора в целом, если отказы блоков являются независимыми событиями.

Решение: Если в схеме блоки соединены последовательно, то это означает, что выход из строя любого из них вызывает выход из строя прибора в целом. Дублирующие друг друга блоки изображаются на схеме соединёнными параллельно. При выходе из строя одного из них происходит моментальное переключение на другой блок. Разобьём схему на два последовательных участка [a,b] и [c,d] и введём следующие события:

- безотказная работа блока ;

– отказ блока ;

– безотказная работа прибора;

– безотказная работа участка [a, b];

– безотказная работа участка [c, d];

– безотказная работа блоков и .

По условию заданы вероятности . Следовательно . Тогда .

По теореме умножения для независимых событий имеем

, где и .

Тогда

и .

1.4. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Пусть с некоторым опытом связано n событий , , … , образующих полную группу попарно несовместных событий и называемых гипотезами. Если событие А может произойти только с одной из этих гипотез, то его можно представить в виде

(1.4.1)

и вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

(1.4.2).

Если до опыта вероятности гипотез были , , … , , то после проведения опыта, в результате которого произошло событие А, вероятности гипотез можно переоценить по формуле Байеса

, (1.4.3)

или с учётом (1.4.2)

, (1.4.4).

Формула Байеса позволяет проверять и корректировать выдвинутые до испытаний гипотезы.

Пример 1.4.1.

Имеется три урны с шарами. В первой урне 5 белых и 3 чёрных, во второй 2 белых и 6 чёрных, в третьей 4 чёрных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из неё шар. Найти вероятность того, что: а) этот шар окажется чёрным; б) чёрный шар вынут из третьей урны.

Решение: а) Пусть А – событие, означающее, что извлечён чёрный шар. Рассмотрим три гипотезы:

- выбрана первая урна;

- выбрана вторая урна;

- выбрана третья урна.

Так как урна, из которой извлекают шар, выбирается наугад, то

.

Условные вероятности события А соответственно равны:

(вероятность извлечения чёрного шара из первой урны);

(вероятность извлечения чёрного шара из второй урны);

(вероятность извлечения чёрного шара из третьей урны).

По формуле (1.4.2) получим

.

б) Для вычисления вероятности того, что чёрный шар извлечён из третьей урны, воспользуемся формулой Байеса:

.

Пример 1.4.2.

Турист выходит из пункта О и на разветвлении дорог выбирает наугад один из возможных путей. Схема дорог изображена на рис.1.4.1. Какова вероятность того, что турист попадёт в пункт В?

 

1

O 2 B

3

Рис. 1.4.1.

Решение: Пусть А – событие, означающее, что турист попадёт в пункт В.

Рассмотрим гипотезы:

- турист выбрал первую дорогу из пункта О;

- турист выбрал вторую дорогу из пункта О;

- турист выбрал третью дорогу из пункта О.

Так как дорога выбирается наугад, то .

Если турист выберет первую дорогу, то из четырёх разветвлений этой дороги только одно приводит в пункт В. Следовательно, . Аналогично рассуждая, получим , и .

Пример 1.4.3.

Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7; для второго – 0,6. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит второму стрелку?

Решение: Пусть А – событие «в мишени одна пробоина».

Построим систему гипотез, связанных с этим испытанием:

- оба стрелка попали;