Глава 1. Случайные события (стр. 3 )

Статистической вероятностью события А называется относительная частота этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний.

(1.2.4)

Статистическая вероятность приближённо равна классической вероятности, т. е. (1.2.5).

Отличие статистического определения вероятности от классического заключается в том, что по классическому определению вероятность вычисляется до проведения испытания (априорно), а согласно статистическому определению – по результатам испытания (апостериорно).

Пример 1.2.5.

Из 5000 взятых наугад деталей 32 оказались бракованными. Найти относительную частоту бракованных изделий в данной партии.

Решение: Событие А – появление бракованной детали. Произведено n=5000 испытаний, причём событие А наступило m=32 раза. Поэтому искомая частота .

Пример 1.2.6.

При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,8. Найти число годных приборов, если всего было проверено 600 приборов.

Решение:

По условию

, приборов.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Суммой двух событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Произведением двух событий А и В называется событие С=АВ, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Теорема сложения вероятностей:

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

(1.3.1).

Теорема сложения вероятностей справедлива и для конечного числа n попарно несовместных событий, т. е.

или

(1.3.2).

Если события несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1:

(1.3.3).

Если А и - противоположные события, то

(1.3.4).

События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.

События А и В называются зависимыми, если вероятность одного из событий зависит от появления или непоявления другого.

Вероятность события В при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В и обозначается или .

Теорема умножения вероятностей:

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло

или (1.3.5).

Эта теорема обобщается на случай произвольного конечного числа событий

(1.3.6).

Для независимых событий А и В

(1.3.7).

Если события независимы, то

(1.3.8).

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

(1.3.9).

Если события независимы в совокупности и в результате опыта могут наступить все события, либо часть из них, либо ни одно из них, тогда вероятность появления хотя бы одного события из n можно вычислить по формуле

(1.3.10).

Пример 1.3.1.

В фирме 500 сотрудников, 300 из них имеют высшее образование, 400 – среднее специальное образование, а у 250 сотрудников – и высшее, и среднее специальное образование. Найти вероятность того, что случайно выбранный работник имеет или высшее образование, или среднее специальное, или то и другое.

Решение: Обозначим события

А – случайно выбранный сотрудник имеет высшее образование;

В – случайно выбранный сотрудник имеет среднее образование.

Применив формулу (1.2.1), найдём

; ; .

Учитывая, что А и В – совместные события, по формуле (1.3.9) получим

.

Пример 1.3.2.

В лотерее 2000 билетов; из них на 4 билета падают выигрыши по 250 рублей, на 10 билетов – по 100 рублей, на 20 билетов – по 50 рублей, на 50 билетов – по 10 рублей. Остальные билеты без выигрыша. Найти вероятность выиграть не менее 50 рублей, если куплен 1 билет.

Решение: Событие А состоит в том, что купивший билет, выиграл не менее 50 рублей. Обозначим события

- он выиграл 50 рублей,

- выиграл 100 рублей,

- выиграл 250 рублей.

Тогда и по формуле (1.3.2) получим

.

Пример 1.3.3.

Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого 0,8, а второго – 0,6. Найти вероятность следующих событий:

1) Событие А – оба попали;

2) Событие В – попал один;

3) Событие С – попал хотя бы один.

Решение: Рассмотрим события:

- первый стрелок попал в цель;

- второй стрелок попал в цель.

По условию , .

1) Событие А – оба стрелка попали в цель, поэтому . Отсюда в силу независимости событий и , по формуле (1.3.7) имеем

.

2) Событие В – попал один стрелок, т. е. , где событие - первый стрелок промахнулся, событие - второй стрелок промахнулся.

;

3) Событие С – хотя бы один стрелок попал. Применим формулу (1.3.10).

.

Пример 1.3.4.

Фирма претендует на два заказа от двух предприятий. Вероятность получения работы в первом предприятии 0,45. Эксперты полагают, что если фирма получит заказ от первого предприятия, то вероятность того, что второе предприятие предоставит им заказ, равна 0,9. Найти вероятность того, что фирма получит оба заказа.

Решение: Рассмотрим события:

А – получение заказа от первого предприятия

В – получение заказа от второго предприятия

Из условия следует, что события А и В – зависимые. Применяя формулу (1.3.5), получим .

Пример 1.3.5.

При подготовке к экзамену студент выучил 40 из 50 вопросов программы. Экзаменационный билет содержит три разных вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит на все три вопроса.

Решение: Обозначим события

– студент знает ответы на все три вопроса;

- студент знает ответ на первый вопрос;

- студент знает ответ на второй вопрос;

- студент знает ответ на третий вопрос.

События зависимы, поэтому