Глава 1. Случайные события (стр. 1 )

Глава 1. Случайные события.

1.1. Основные формулы комбинаторики.

Раздел математики, в котором изучаются вопросы выбора и размещения некоторых элементов множества в соответствии с заданным правилом, называется комбинаторикой. Методы комбинаторики используются в теории вероятностей, статистике, теории случайных процессов и т. д.

Пусть – элементы конечного множества. Сформулируем два основных правила комбинаторики.

Правило суммы (правило сложения):

Если элемент может быть выбран способами, после каждого выбора элемент можно выбрать способами и т. д., ­- способами, отличными от первых (k-1), то выбор одного из элементов: или , или , … , или может быть осуществлён способами (1.1.1).

Правило произведения (правило умножения):

Если элемент может быть выбран способами, после каждого такого выбора элемент может быть выбран способами и т. д., после каждого (k-1) выбора элемент может быть выбран способами, то выбор всех элементов в указанном порядке может быть осуществлён способами (1.1.2).

Пример 1.1.1.

В магазине электроники продаются 4 марки телевизоров и 3 вида компьютеров. У покупателя есть возможность приобрести либо телевизор, либо компьютер. Сколькими способами он может совершить одну покупку?

Решение: Один телевизор можно выбрать четырьмя способами, а компьютер – другими тремя способами. Тогда телевизор или компьютер можно купить N = 4+3 = 7 способами.

Пример 1.1.2.

Используя условие примера 1.1.1, найдите, сколько различных комплектов, содержащих телевизор и компьютер, можно приобрести в этом магазине.

Решение: Телевизор можно выбрать четырьмя способами. После каждого выбора телевизора, компьютер можно выбрать тремя способами. Следовательно, по правилу произведения, всего различных комплектов можно выбрать способами.

В комбинаторике рассматриваются две схемы выбора элементов из множества:

без возвращения (без повторения);

с возвращением (с повторением).

Пусть дано множество из n различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из k элементов. Эти подмножества называются соединениями, комбинациями или выборками.

Рассмотрим 3 вида соединений (выборок).

Размещениями из n элементов по k называются такие соединения, каждое из которых содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по k в каждом обозначается символом и вычисляется по формуле

(1.1.3), где , 1!=1, 0!=1,

или , где .

Рассмотрим случай, когда размещение из n элементов по k элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, или не содержать его совсем. Такое соединение называется размещением с повторениями и вычисляется по формуле

(1.1.4)

Пример 1.1.3.

Сколькими способами можно составить трёхцветный полосатый флаг из шести различных по цвету отрезков материи?

Решение: Порядок важен, поэтому выбираем формулу (1.1.3) размещений без повторений. n=6, k=3.

.

Пример 1.1.4.

В гостинице 10 комнат, каждая из которых может разместить четырёх человек. Сколько существует вариантов для прибывших четырёх гостей?

Решение: Каждый следующий гость из 4 может быть помещён в любую из 10 комнат, поэтому общее число размещений с повторениями равно

.

Перестановками из n элементов называются такие соединения, каждое из которых содержит все n элементов, и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов. Перестановки из n элементов обозначаются и вычисляются по формуле

(1.1.5).

Если в перестановках из общего числа n элементов есть k различных элементов, при этом первый элемент повторяется раз, второй элемент - раз, k-ый элемент - раз, причём , то такие перестановки называют перестановками с повторениями из n элементов. Число перестановок с повторениями из n элементов равно

, (1.1.6).

Пример 1.1.5.

Порядок выступления шести участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьёвки при этом возможно?

Решение: Каждый вариант жеребьёвки отличается только порядком участников конкурса, т. е. является перестановкой из шести элементов.

Следовательно,

.

Пример 1.1.6.

Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определённые четыре книги стояли рядом?

Решение: будем считать выделенные книги за одну книгу. Тогда для шести книг существует перестановок. Однако четыре определённые книги можно переставить между собой способами. По правилу умножения имеем .

Сочетаниями из n элементов по k называются такие соединения, каждое из которых содержит k элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом не зависимо от порядка их расположения.

Число сочетаний из n элементов по k обозначается символом и вычисляется по формуле

(1.1.7).

Свойства сочетаний:

.

.

- удобно применять при (1.1.8).

; .

.

Для произвольных чисел a и b и произвольного натурального числа n справедлива формула

(1.1.9)

Эта формула – формула бинома Ньютона. Числа являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона.

Рассмотрим случай, когда сочетание из n элементов по k элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, или не содержать его совсем. Такое соединение называется сочетанием с повторениями и вычисляется по формуле

(1.1.10)

Пример 1.1.7.

На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано тренером разных стартовых пятёрок?

Решение: при составлении стартовой пятёрки тренера интересует только состав пятёрки, поэтому применяем формулу (1.1.7):