Глава 1. Случайные события (стр. 5 )

- оба стрелка не попали;

- первый попал, второй нет;

- второй попал, первый нет

и вычислим вероятность этих гипотез:

; ;

; .

Сумма этих вероятностей должна равняться 1. Это условие выполнено.

Найдём условные вероятности события А:

(так как имеет место только одно попадание)

(так как имеет место попадание)

(имеет место одно попадание)

(имеет место одно попадание).

Условную вероятность - попал только второй стрелок – вычислим по формуле Байеса:

, где .

Тогда .

Пример 1.4.4.

В первой урне 7 белых и 8 чёрных шаров, во второй – 6 белых и 3 чёрных шара. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – чёрный.

Решение: Пусть А – вынутый шар чёрный. После того, как в первую урну переложили один шар, её содержимое можно разбить на две совокупности: 1) 7 белых и 8 чёрных шаров, первоначально находившихся в этой урне; 2) один шар из второй урны. Введём гипотезы: - произвольно вынутый шар из первой урны принадлежит первой совокупности и ; - произвольно вынутый шар принадлежит второй совокупности и . Вероятность появления чёрного шара из первой совокупности , а из второй – . Тогда по формуле полной вероятности .

Пример 1.4.5.

В ящике имеется 5 изделий, среди которых могут быть и бракованные. Вынутое наугад изделие оказалось качественным. Определить вероятность того, что в ящике только одно бракованное изделие.

Решение: Построим систему гипотез о возможном качестве изделий до опыта: - все изделия качественные, - одно изделие бракованное, - два изделия бракованные, … , - все изделия бракованные. Пусть до опыта все гипотезы равновозможны:

.

Обозначим событие А – вынуто качественное изделие и вычислим – вероятность того, что в ящике только одно бракованное изделие, используя формулу Байеса. Для этого найдём условные вероятности события А и полную вероятность этого события:

, , , , , .

.

Тогда

.

1.5. Задачи для самостоятельного решения.

1.5.1. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности из 10 кандидатов?

1.5.2. Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из четырёх цифр. Оператор забыл или не знал необходимого кода. Сколько всевозможных комбинаций он может составить для набора пароля, если цифры в коде повторяются?

1.5.3. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 членов, можно образовать из 14 преподавателей?

1.5.4. Предприниматель хочет отправить рекламные объявления в три из семи городских газет. Сколькими способами можно выбрать эти три газеты?

1.5.5. На первом курсе изучается 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на пятницу, если в этот день недели должно быть 4 различных занятия?

1.5.6. В школьной лотерее на 50 билетов разыгрывается 8 выигрышей. Первый подошедший к урне ученик выбирает из урны 5 билетов. Сколькими способами он может их вынуть, чтобы: а) среди них оказалось ровно 2 выигрышных; б) по крайней мере 2 из них оказались выигрышными?

1.5.7. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6.

1.5.8. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку отбирают 9 студентов. Найти вероятность того, что отберут 5 отличников.

1.5.9. 10 человек случайным образом рассаживаются на десятиместную скамейку. Найти вероятность того, что 2 определённых лица окажутся рядом.

1.5.10. В лотерее из 100 билетов 20 выигрышных. Студент приобрёл 5 билетов. Найти вероятность того, что все 5 билетов выигрышные.

1.5.11. В круг радиуса R вписан квадрат. В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри квадрата.

1.5.12. Мастер обслуживает 5 станков. 20% рабочего времени он проводит у первого станка, 10% - у второго, 15% - у третьего, 25% - у четвёртого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится у второго или четвёртого станка.

1.5.13. Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что правильно ответят: 1) оба студента; 2) только один из них; 3) хотя бы один из студентов.

1.5.14. В урне 5 белых и 3 чёрных шара. Найти вероятность того, что 3 наугад вынутых шара окажутся белыми.

1.5.15. Надёжность (т. е. вероятность безотказной работы) прибора равна 0,7. Для повышения надёжности данного прибора он дублируется n-1 другими такими же приборами. Сколько приборов нужно взять, чтобы повысить его надёжность до 0,95?

1.5.16. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и аварийном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, аварийный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время Т в нормальном режиме равна 0,05, в аварийном – 0,5. Найдите вероятность выхода прибора из строя за время Т.

1.5.17. В ящике имеется 6 изделий, среди которых могут быть и бракованные. Вынутое наугад изделие оказалось бракованным. Определить вероятность того, что в ящике первоначально было только 2 бракованных изделия.

Ответы:

1.5.1. 720.

1.5.2. 10000.

1.5.3. 3432.

1.5.4. 35.

1.5.5. 24024.

1.5.6. а) 321440, б)372652.

1.5.7. 0,1389.

1.5.8. 0,2545.

1.5.9. 0,2000.

1.5.10. 0,0002.

1.5.11. 0,6369.

1.5.12. 0,350.

1.5.13. 1) 0,48, 2) 0,44, 3) 0,92.

1.5.14. 0,250.

1.5.15. .

1.5.16. 0,14.

1.5.17. .