Необходимость автоматизации химико-технологических процессов (стр. 3 )

Уравнение динамики (I,6) при хвх = 0 имеет вид:

Это однородное уравнение. Оно характеризует поведение системы, предоставленной самой себе, после снятия внешних возмущений. Его называют уравнением свободного движения системы.

Из уравнения динамики (I, 6) можно получить уравнение статики системы, приравняв в нем все производные нулю. Оно имеет вид уравнения (I,5), если k — bm/am.

Обычно, входные и выходные величины в уравнениях статики и динамики записывают в относительном виде. При этом постоянные коэффициенты уравнения динамики или безразмерны, или имеют размерность времени в степени, равной порядку производной соответствующего слагаемого.

Для упрощения записи уравнения динамики операцию дифференцирования обозначают символом р (здесь р — алгебраическая величина):

Аналогично операцию интегрирования обозначают 1/p:

Таким образом

Используя эти соотношения, получим следующую запись уравнения динамики системы (I, 6):

Заменяя полином в левой части уравнения (1,8) через D(p) а в правой части через К(р), окончательно получим

где D(p) —полином, характеризующий свободные колебания системы; К(р) —полином, характеризующий внешнее возмущение.

Передаточные функции систем.

Передаточные функции, как и уравнения динамики, характеризуют изменение сигнала при прохождении через систему.

Отношение Лапласовых изображений выходной и входной величин системы при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией системы W(p)

где xвх(p) и xвых(p)— изображения по Лапласу входной и выходной величин системы.

По передаточной функции системы W(p) и изображению ее входной величины можно найти изображение выходной величины

При наличии одной входной и одной выходной величины система или звено имеют только один канал прохождения сигнала, а следовательно, и одну передаточную функцию. Если же система или звено имеют несколько каналов прохождения сигнала, что возможно при нескольких входных и выходных величинах, то прохождение сигнала в каждом канале характеризуется своей передаточной функцией.

Временные характеристики систем.

Временная характеристика системы представляет собой изменение выходной величины во времени при подаче на ее вход типового апериодического воздействия. В качестве последнего используют единичное ступенчатое воздействие, или единичный импульс. При единичном ступенчатом воздействии (рис. 1-5, а) входная величина мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменной. Единичное ступенчатое воздействие, или единичная ступенчатая функция 1(t) описывается выражением:

Импульс, величина которого равна бесконечности, длительность — нулю, а площадь — единице (рис. 1-5,б) называется единичным импульсом. Его аналитическое выражение называют единичной импульсной функцией, или дельта-функцией, и обозначают через δ(t).

Дельта-функцию при условии, что записывают так:

Переходная характеристика — это частный случай временной характеристики при подаче на вход элемента или системы единичного ступенчатого возмущения. Ее обозначают через h(t). Таким образом, если xвх(t)=1(t), то xвых(t)=h(t).

Импульсная переходная характеристика — это временная характеристика при подаче на вход элемента или системы единичного импульса. Ее аналитическим выражением является импульсная переходная функция, или весовая функция (функция веса) w(t). Следовательно, xвых(t)= w(t) при xвх(t)= δ(t). Между переходной и весовой функциями линейных звеньев наблюдается зависимость, аналогичная вышеприведенной:

5. Частотные характеристики систем. Частота среза. Вычисление частотной передаточной функции.

Частотные характеристики систем.

Частотные характеристики определяют динамические свойства АСР и широко используются в инженерной практике для их расчета.

Если на вход системы подать гармонические колебания хвх (частота wi, амплитуда Aвх), которые в комплексной форме имеют вид

(здесь eiw1t = cosw1t+isinw1t) то на выходе этой системы через достаточно большой промежуток времени установятся вынужденные колебания хвых с той же частотой w1, но с другой амплитудой Авых1 и со сдвигом по фазе φ1 (рис. I-12)

Отношение выходных колебаний системы хвых к входным хвх, выраженное в комплексном виде, называют комплексным коэффициентом передачи системы при частоте w1

С изменением частоты колебаний на входе (при постоянной амплитуде Авх) амплитуда выходных колебаний Авых и фазовый сдвиг φ будут меняться, что вызовет изменение комплексного коэффициента передачи системы.

Совокупность всех значений комплексного коэффициента передачи при изменении φ от 0 до +∞ называют комплексной частотной характеристикой системы или амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) системы и обозначают через W(iw).

Зависимость отношения амплитуд выходных и входных колебаний Авых/Авх от частоты колебаний w называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и обозначают через А(w). Зависимость фазового сдвига выходных колебаний относительно входных φ от частоты колебаний w называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) и обозначают через φ(w). Эти частотные характеристики связаны между собой уравнением

Графически АФХ представляет собой кривую, описываемую на комплексной плоскости концом вектора, модуль которого равен значениями A(w), а аргумент — φ(w) при изменении w от 0 до +∞.

Проекцию АФХ на действительную ось комплексной плоскости называют вещественной частотной характеристикой (ВЧХ) и обозначают через U(w), а проекцию на мнимую ось — мнимой частотной характеристикой (МЧХ) и обозначают через V(w).

Частотные характеристики могут быть определены одна через другую с помощью следующих зависимостей:

6. Устойчивость систем. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Устойчивость автоматических систем регулирования химико-технологических объектов.

Устойчивость системы определяется характером ее свободного движения, которое описывается однородным дифференциальным уравнением динамики. Для системы n-ого порядка оно имеет вид:

где у— выходная величина; а1, а2,…, ап — постоянные коэффициенты; t — время.

Исследование системы на устойчивость требует решения этого уравнения, которое может быть представлено в следующем виде:

где Ак — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий; рк — корни характеристического уравнения вида:

Однако достаточно просто решаются дифференциальные уравнения только 1-го и 2-го порядков. Решение уравнений более высокого порядка требует преодоления определенных трудностей, возрастающих c повышением порядка уравнения. Значительно проще можно найти корни характеристических уравнений. Поэтому целесообразно выяснить зависимость между устойчивостью системы и значением корней ее характеристического уравнения.

Устойчивость системы и корни характеристического уравнения. Расположение корней характеристического уравнения позволяет судить об устойчивости системы. Если характеристическое уравнение имеет только вещественные и разные корни, то характер изменения каждой составляющей

зависит от знака корня характеристического уравнения рк.

Окончательно условие устойчивости систем может быть сформулировано следующим образом. Для устойчивости системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, необходимо и достаточно, чтобы все вещественные корни ее характеристического уравнения были отрицательными, а комплексные корни имели отрицательную вещественную часть. Если хотя бы один из вещественных корней характеристического уравнения системы положителен или одна пара сопряженных комплексных корней имеет положительную вещественную часть, то система неустойчива. Таким образом, исследование устойчивости линейной системы сводится к определению знаков вещественных частей корней характеристического уравнения.

Критерии устойчивости. С математической точки зрения критерии устойчивости представляют собой необходимые и достаточные условия, при соблюдении которых все корни характеристического уравнения системы имеют отрицательную вещественную часть.