МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «СГУ имени »
Механико-математический факультет
СОГЛАСОВАНО заведующий кафедрой геометрии __________________РОЗЕН В. В. "__" ________________2016 г. | УТВЕРЖДАЮ председатель НМК механико-математического факультета _____________ТЫШКЕВИЧ С. В. "__" ________________2016 г. |
Фонд оценочных средств
текущего контроля и промежуточной аттестации по дисциплине
Дополнительные главы геометрии и алгебры.
Часть 1
Направление подготовки
02.03.01 Математика и компьютерные науки
Профиль подготовки
Математические основы компьютерных наук
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов,
2016
· Карта компетенций
Контролируемые компетенции (шифр компетенции) | Планируемые результаты обучения (знает, умеет, владеет) |
ОК-6 способность работать в коллективе, толерантно воспринимая социальные, этнические, конфессиональные и культурные различия | Знать: о социальных, этнических, конфессиональных и культурных особенностях представителей тех или иных социальных общностей. |
Уметь: работая в коллективе, учитывать социальные, этнические, конфессиональные, культурные особенности представителей различных социальных общностей в процессе профессионального взаимодействия в коллективе, толерантно воспринимать эти различия | |
Владеть: в процессе работы в коллективе этическими нормами, касающимися социальных, этнических, конфессиональных и культурных различий; способами и приемами предотвращения возможных конфликтных ситуаций в процессе профессиональной деятельности | |
ОК-7 способность к самоорганизации и к самообразованию | Знать: содержание процессов самоорганизации и самообразования, их особенностей и технологий реализации, исходя из целей совершенствования профессиональной деятельности. |
Уметь: самостоятельно строить процесс овладения информацией, отобранной и структурированной для выполнения профессиональной деятельности. | |
Владеть: технологиями организации процесса самообразования; приемами целеполагания во временной перспективе, способами планирования, организации, самоконтроля и самооценки деятельности. | |
ОПК-1 готовность использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятности, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности | Знать: основные понятия, принципиальные результаты и методы алгебры, дифференциальной геометрии и топологии; основные понятия теории групп, основные понятия аналитической геометрии. |
Уметь: решать стандартные задачи алгебры, аналитической геометрии; доказывать основные теоремы о аффинных и проективных пространствах; использовать методы тензорной алгебры. | |
Владеть: основной терминологией и понятийным аппаратом математических дисциплин, методами доказательств утверждений; понятийным аппаратом теории аффинных и проективных пространств и тензорной алгебры. | |
ОПК-3 способность к самостоятельной научно-исследовательской работе | Знать: профессиональную терминологию, корректное использование методов математических и естественнонаучных знаний, способы воздействия на аудиторию |
Уметь: публично представлять, объяснять, защищать предлагаемый метод решения задачи; объяснять учебный и научный материал; вести корректную дискуссию в процессе представления предлагаемого решения; применять полученные результаты для анализа конкретных примеров; применять понятия и методы теории аффинных и проективных пространств и тензорной алгебры в научно-исследовательской работе; понимать современную математическую литературу в данной области и ее применениях. | |
Владеть: навыками доказательства оптимальность выбранного метода решения задачи, объясняя его профессиональной терминологией при презентации построенных моделей; навыками профессионального мышления, необходимыми для адекватного использования методов теории аффинных и проективных пространств и тензорной алгебры; навыками профессионального мышления, необходимыми для самостоятельного изучения математической литературы по данной тематике. |
· Показатели оценивания планируемых результатов обучения
Семестр | Шкала оценивания | |||
2 | 3 | 4 | 5 | |
6 семестр | Не знает основные понятия, принципиальные результаты и методы алгебры, дифференциальной геометрии и топологии; основные понятия теории групп, теории топологических групп, основные понятия теории аффинных и проективных пространств, тензорной алгебры, профессиональную терминологию, корректное использование методов математических и естественнонаучных знаний, способы воздействия на аудиторию Не умеет решать стандартные задачи алгебры, дифференциальной геометрии и топологии; доказывать основные теоремы о аффинных и проективных пространствах, решать стандартные задачи; знать основные примеры. Не владеет основной терминологией и понятийным аппаратом математических дисциплин, методами доказательств утверждений; понятийным аппаратом теории групп, теории аффинных и проективных пространств и тензорной алгебры. | Недостаточно хорошо знает основные понятия, принципиальные результаты и методы алгебры, дифференциальной геометрии и топологии; основные понятия теории аффинных и проективных пространств и тензорной алгебры; профессиональную терминологию, корректное использование методов математических и естественнонаучных знаний, способы воздействия на аудиторию Недостаточно хорошо умеет решать стандартные задачи алгебры, дифференциальной геометрии и топологии; доказывать основные теоремы об аффинных и проективных пространствах и тензорной; приводить конкретные примеры и решать стандартные задачи. Слабо владеет основной терминологией и понятийным аппаратом математических дисциплин, методами доказательств утверждений; понятийным аппаратом теории групп, теории аффинных и проективных пространств и тензорной алгебры. | Хорошо знает основные понятия, принципиальные результаты и методы алгебры, дифференциальной геометрии и топологии; основные понятия теории групп, теории топологических групп, основные понятия теории аффинных и проективных пространств и тензорной; профессиональную терминологию, корректное использование методов математических и естественнонаучных знаний, способы воздействия на аудиторию Хорошо умеет решать стандартные задачи алгебры, дифференциальной геометрии и топологии; доказывать основные теоремы об аффинных и проективных пространствах и тензорной алгебре. Хорошо владеет основной терминологией и понятийным аппаратом математических дисциплин, методами доказательств утверждений; понятийным аппаратом теории аффинных и проективных пространств и тензорной алгебры. | Отлично знает основные понятия, принципиальные результаты и методы алгебры, дифференциальной геометрии и топологии; основные понятия теории групп и основные понятия теории аффинных и проективных пространств и тензорной алгебры; профессиональную терминологию, корректное использование методов математических и естественнонаучных знаний, способы воздействия на аудиторию Отлично умеет решать стандартные задачи алгебры; доказывать основные теоремы об аффинных и проективных пространствах и тензорной алгебре, решать конкретные задачи Свободно владеет основной терминологией и понятийным аппаратом математических дисциплин, методами доказательств утверждений; понятийным аппаратом теории аффинных и проективных пространств и тензорной алгебры. |
· Оценочные средства
2.1 Задания для текущего контроля
· Контрольная работа
Методические рекомендации. Контрольная работа по дисциплине «Дополнительные главы алгебры ч.1» проводится в письменном виде. Учебным планом по направлению подготовки 02.03.01 «Математика и компьютерные науки» предусмотрена одна контрольная работа. Подготовка студента к контрольной работе осуществляется в период практических и лабораторных занятий, а также во внеаудиторные часы в рамках самостоятельной работы. Во время самостоятельной подготовки студент пользуется конспектами лекций, практических занятий, основной и дополнительной литературой по дисциплине (см. перечень литературы в рабочей программе дисциплины).
Критерии оценивания. Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий, зависит от полноты решения и правильности ответа. Общие требования к выполнению заданий: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности все возможные случаи должны быть рассмотрены. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
Имеется верное доказательство утверждения и обоснованно получен верный ответ 2-5баллов в зависимости от задачи.
Допущена единичная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения – 1-4 балла в зависимости от задачи.
Задача решена частично, допущено несколько ошибок 1-2 балла.
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов.
ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ контрольной работы
Контрольная работа №1
Вариант 1.
1. Доказать, что если даны точки M1, M2 и числа λ1,λ2 такие, что λ1 + λ2 = 0, то для любой точки M вектор
λ1MM1 + λ2MM1 = 0
2. Вычислить произведение двух гомотетий.
3. Найти расстояние между прямыми
M1+<v1 >, M2+<v2 >
4. Доказать, что если u⊗v = u′ ⊗v′, u, u′ v, v′ ̸= 0 то существует λ ̸= 0, такое, что u′ = λu, v′ = λ−1v.
Вариант 2.
1.Доказать, что, что если одну барицентрическую комбинацию точек подставить в другую, то снова получиться барицентрическая комбинация.
2. Вычислить произведение гомотетии и параллельного переноса.
3. Найти расстояние между прямой и плоскостью
M+<v>, N+<u1,u2 >
4. Доказать, что, если u⊗v = u1 ⊗v1 +u2 ⊗v2, u, uv, v = 0 то существуют такие,
λ1,λ2 ̸= 0, что u1=λ1u, u2=λ2u, v=λ1v1+λ2v2
· Задания для практических занятий
Цель решаемых задач – закрепить лекционный материал, выявить наиболее сложные для понимания места, приобрести навыки решения задач по группам и алгебрам ли, навыки доказательства различных утверждений из аффинных пространств и тензорной используя знания, полученные на лекциях и ранее изученных дисциплинах.
Примеры задач:
Доказать, что точки аффинно независимы тогда и только тогда, когда выполнена единственность в барицентрическом разложении. Доказать теорему Чевы. Доказать теоремы Менелая. Какова наименьшая размерность пространства в котором существуют скрещивающиеся плоскости. Найти аффинные инварианты конфигурации из четырех точек. Найти аффинные инварианты конфигурации из точки и прямой. Как меняется отношение трех точек при их перестановке. Вычислить группу евклидовых симметрий правильного многоугольника. Когда конфигурации из трех точек на прямой евклидово эквивалентны? Привести к каноническому виду заданную квадратичную функцию. Доказать, что если u ⊗ v = u1 ⊗ v1 + u2 ⊗ v2 + u3 ⊗ v3 то существуют такие, λ1, λ2, λ3, что u1=λ1u, u2=λ2u, u3=λ3u v=λ1v1+λ2v2+λ3v3 Какой тензор при естественном изоморфизме соответствует единичному оператору.Методические рекомендации. Решение задач осуществляется во время практических занятий. В начале каждого занятия рекомендуется обсудить основные методы, понятия, формулы и формулировки утверждений, которые понадобятся при решении задач. Во время самостоятельной подготовки студент пользуется конспектами лекций и практических занятий, основной и дополнительной литературой по дисциплине (см. перечень литературы в рабочей программе дисциплины).
Критерии оценивания. Общие требования к выполнению заданий: решение должно быть математически грамотным, полным. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
Имеется верное доказательство утверждения и обоснованно получен верный ответ – 1-2 балла.
Допущена единичная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения - 0,5-1 балл.
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов.
· Промежуточная аттестация
Методические указания.
Формой промежуточной аттестации по дисциплине «Дополнительные главы геометрии и алгебры. Часть 1» является экзамен в шестом семестре, который проводится в виде ответа на билет, состоящий из двух вопросов. При необходимости задаются один – три дополнительных вопроса по материалу лекций. На прохождение аттестации студенту отводится 30 минут. Подготовка студента к прохождению промежуточной аттестации осуществляется в период лекционных, практических и лабораторных занятий, а также во внеаудиторные часы в рамках самостоятельной работы. Во время самостоятельной подготовки студент пользуется конспектами лекций и практических занятий, основной и дополнительной литературой по дисциплине (см. перечень литературы в рабочей программе дисциплины).
Критерии оценивания. Во время экзамена студент должен дать развернутый ответ на вопросы, изложенные в билете. Преподаватель вправе задавать дополнительные вопросы из перечня вопросов к аттестации. Полнота ответа определяется показателями оценивания планируемых результатов обучения.
· Список вопросов к экзамену
1. Аксиомы аффинного пространства. Размерность. Примеры.
2. Векторы соединяющие точки. Их свойства.
3. Барицентрические линейные конбинации точек. Их свойства и примеры.
4. Определение подпространства. Существование и единственность прямой проходящей через две точки.
5. Пересечение аффинных подпространств.
6. 6.Характеризация подпространств.
7. Критерий пересечения двух подпространств.
8. Понятие аффинной оболочки. Ее характеризация.
9. Аффинно независимые системы точек. Критерий аффинной независимости.
10. Размерность аффинно ̆ оболочки объединения двух подпространств.
11. Аффинные отображения. Паралельный перенос и гомотетия.
12. Композиция аффинных отображений. Сохранение барицентрических разложений при аффинных отображениях.
13. Аффинно линейные функции. Характеризация выпуклой оболочки в терминах аффинно линейных функций.
14. Аффинные преобразования. Группа аффинных преобразований.
15. Теорема существования аффинного преобразования.
16. Конфигурации в аффинном пространстве. Отношение трех точек.
17. Система координат в аффинном пространстве. Координаты точки и вектора. Запись аффинного отображения в координатах.
18. Характеризация подпространств как решений линейных систем.
19. Евклидово аффинное пространство. Расстояния и углы. Декаровы координаты.
20. Расстояние от точки до подпространства.
21. Расстояние между подпространствами.
22. Движения. Характеризация движений.
23. Существование и единственность евкклидова аффинного преобразования.
24. Аффинно квадратичные функции. Приведение к каноническому виду.
25. Канонические уравнение квадрики. Единственность уравнения квадрики.
26. Центральные точки. Нахождение центральных точек.
27. Классификация квадрик в аффинном пространстве.
28. Квадрики в евклидовом аффинном пространстве.
29. Определение тензорного произведения. Существование, размерность, единственность.
30. Канонические изоморфизмы. Разложение тензорного квадрата.
31. Тензорная алгебра векторного пространства.
32. Внешняя алгебра векторного пространства.
ФОС для проведения промежуточной аттестации одобрен на заседании кафедры геометрии (протокол № 2_ от 7 сентября 2016 года).
Автор:
Доктор физико-математических наук,
профессор
