Интерференция света: от истории становления теории до решения зада (стр. 5 )

.

После преобразований получаем

,

Так как и для малых углов , то:

.

Окончательно: .

Второй вариант: в треугольнике SS1S2 выразить , то есть:

Þ .

Дальнейшее решение задачи аналогично расчёту интерференционной картины в классическом опыте Юнга, поэтому , где , учитывая что d n L, расстояние от когерентных источников до экрана приближённо принимаем за L ( ). После подстановки числовых данных при k = 1, получаем x ≈ 1 мм.

Задача № 7

Бипризма Френеля. Для получения когерентных источников света французский физик Огюстен Френель нашёл в 1815 г. простой и остроумный способ: надо свет от одного источника разделить на два пучка и, заставив их пройти различные пути, свести вместе. Для этого он использовал систему, состоящую из двух призм с малыми преломляющими углами, сложенных вместе, – бипризму. Определите ширину интерференционных полос в опыте с бипризмой Френеля на экране, расположенном на расстоянии b = 2 м от бипризмы. Точечный источник света находится на расстоянии a = 9 см от бипризмы, q = 5 ∙10‒3 рад, показатель преломления вещества бипризмы n = 1,5; длина волны монохроматического света, падающего на поверхность бипризмы, составляет 500 нм [1, № 4.163, с. 159].

Решение [5, с.139–140]

Свет от источника падает на верхние грани бипризмы (рис. 23), и после преломления возникают два световых пучка. Продолжения лучей, преломлённых верхней и нижней призмами, пересекаются в двух точках S1 и S2, представляющих собой мнимые изображения источника S. При малых значениях преломляющих углов призмы q источник и оба изображения лежат практически в одной плоскости.

Рис. 23

Волны в обоих пучках когерентны, так как фактически они испускаются одним источником. Для вычисления расстояния между мнимыми источниками проще всего рассмотреть ход луча, падающего нормально (перпендикулярно к грани CD, рис. 24). Такого луча в действительности нет, но его можно построить, мысленно продолжив преломляющую грань призмы. Продолжения всех лучей, падающих на грань призмы, пересекаются в точке S1 – мнимом источнике.

Рис. 24

Из рис. 24 и закона преломления света, получаем:

,

где l – расстояние между двумя мнимыми источниками. Дальнейшее решение задачи аналогично расчёту интерференционной картины в классическом опыте Юнга, поэтому ширина интерференционных полос определяется выражением

,

где , a и b – расстояние от когерентных источников до экрана. После подстановки числовых данных получаем, что при k = 1 ширина интерференционной полосы составляет x ≈ 2,2 мм.

Задача № 8

Билинза Бийе. Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 10 см разрезана по диаметру, и части линзы раздвинуты на расстояние h = 0,5 мм (рис. 25). Перед линзой на расстоянии d = 15 см находится точечный источник монохроматического света с длиной волны l = 500 нм. Построением определите положение двух изображений и расстояние между ними. Если за линзой на расстоянии L= 60 см расположить экран, а промежуток между частями линзы закрыть непрозрачной перегородкой A, то ввиду когерентности двух изображений на экране можно наблюдать интерференционную картину. Определите ширину интерференционной полосы [3, № О-184, с. 294].

Рис. 25

Решение

После того как собирающую линзу разрезали по диаметру и части линзы раздвинули на заданное расстояние, получили две собирающие линзы, каждая из которых даст по одному изображению точечного источника монохроматического света S1 и S2. Построением определяем положение двух изображений (рис. 26):

Рис. 26

Дополним рис. 26, на котором указываем расстояния между двумя изображениями, шириной интерференционной полосы на экране и расстояниями, необходимыми для применения формулы тонкой линзы (рис. 27):

Рис. 27

Из формулы тонкой линзы . Из подобия треугольников SO1O2 и SS1S2 получаем, что расстояние между когерентными источниками . Ширина интерференционной полосы определяется таким же способом, как и в классическом опыте Юнга: .

При k = 1 получаем .

После подстановки числовых данных: x = 0,1 мм.

Задачи второй группы

Задача № 1

Кольца Ньютона. Плоско-выпуклая линза с радиусом кривизны выпуклой стороны
R = 1 м лежит на плоской стеклянной пластинке (рис. 28). Систему освещают сверху монохроматическим светом с длиной волны l = 500 нм. При наблюдении сверху (в отражённом свете) видно круглое тёмное пятно, окружённое концентрическими светлыми и тёмными кольцами. Объясните это явление. Определите радиус третьего тёмного кольца [3, № О-185, с. 294].

Исаак Ньютон[18]

Кольца Ньютона в красном монохроматическом свете Рис. 28

Ответ. 1,2 мм.

Решение

Для тёмного кольца условие интерференционного минимума записывается в виде . С другой стороны, оптическая разность хода в том месте воздушного зазора h между линзой и стеклянной пластинкой, где наблюдается тёмное кольцо, можно представить в виде , причём добавление обусловлено тем, что световые волны, отражаясь от оптически более плотной среды, изменяют фазу на p, то есть получают дополнительную разность хода. После объединения получаем . Из рис. 28 видно, что радиус R выпуклой стороны плоско-выпуклой линзы, радиус интерференционного кольца r и толщина воздушного зазора h связаны между собой теоремой Пифагора, то есть . После преобразований (ввиду малости h, а следовательно и h2 → 0) получаем .

Объединяя с формулой , получаем выражение, позволяющее рассчитать радиусы тёмных колец: . Для k = 3 радиус кольца r ≈ 1,2 мм.

Задачи № 2– 6 представлены для закрепления навыка расчёта интерференционной картины «Кольца Ньютона».

Задача № 2

Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы 8,6 м. Наблюдение ведётся в отражённом свете. Измерениями установлено, что радиус четвёртого тёмного кольца (считая центральное тёмное пятно нулевым) 4,5 мм. Найдите длину волны падающего света [7, № 000, с. 206].

Ответ. 589 нм.

Задача № 3

Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны 600 нм, падающим по нормали к поверхности пластины. Найдите толщину воздушного зазора между линзой и стеклянной пластиной в том месте, где наблюдается четвёртое тёмное кольцо в отражённом свете [7, № 000, с. 206].

Ответ. 1,2 мкм.

Задача № 4

Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. После того как пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнили жидкостью, радиусы тёмных колец в отражённом свете уменьшились в 1,25 раза. Найдите показатель преломления жидкости [7, № 000, с. 207].

Ответ. 1,56

Задача № 5

Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки, на которой лежит линза радиусом кривизны 15 м. Наблюдение ведётся в отражённом свете. Расстояние между 5 и 25 светлыми кольцами Ньютона равно 9 мм. Найдите длину волны монохроматического света [7, № 000, с. 207].

Ответ. 675 нм.

Решение

Для светлого кольца условие интерференционного минимума записывается в виде . С другой стороны, оптическая разность хода в том месте воздушного зазора h (рис. 28) между линзой и стеклянной пластиной, где наблюдается тёмное кольцо, можно представить в виде , причём добавление обусловлено тем, что световые волны, отражаясь от оптически более плотной среды, изменяют фазу на p, то есть получают дополнительную разность хода. После объединения получаем .