Квадратный трехчлен и теорема Виета (стр. 2 )

2. Решить неравенство (2 балла)

3. . Решить неравенство . (2 балла)

4. Решить неравенство . (3 балла)

5. Задание A) необходимо выполнять тем, кто по программе изучал логарифмы, задание Б) – тем, кто изучал производную. Баллы выставляются только за одно из заданий или А) или Б)

A) (Без производной). (4 балла). Решить неравенство .

Б) (Без логарифмов). (4 балла). При каких значениях неравенство имеет хотя бы одно решение?

РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

1. Решить неравенство . (1 балл)

Решение: очевидно решение, если , то и, следовательно .

Ответ:.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
1	Полное верное решение.
0,5	Верные рассуждения, но имеются арифметические ошибки.
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.

Задача 2.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
2	Полное верное решение.
1	Найдена площадь исходного треугольника, но высота не найдена.
0,5	Высота треугольника выражена через площадь и сторону ВС, но при этом площадь треугольника не найдена.
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.

Задача 3.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
2	Полное верное решение.
1,5	Предложены верные идеи решения, но в решении имеются арифметические ошибки.
1	Предложены верные идеи решения (возможно, нерациональные), но сами идеи не реализованы.
0,5	Есть некоторые верные идеи, но их недостаточно, чтобы решить задачу (например, найдены стороны треугольника; других идей и вычислений нет).
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.

Задача 4.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
3	Полное верное решение.
2,5	Верно указан угол между прямой и плоскостью (в плоскости основания опущен перпендикуляр из точки D на диагональ прямоугольника), но обоснования угла нет. Синус угла найден верно.
2	Верно указан угол между прямой и плоскостью (см. ранее). Способ нахождения синуса угла указан неверно.
1	Верно указан угол между прямой и плоскостью (см. ранее), при этом обоснования нет. Других продвижений нет.
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.

Задача 5.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
4	Полное верное решение. Обоснованно получен верный ответ с рассмотрением двух случаев.
3	Имеются два варианта расположения окружности. Идеи нахождения радиуса, в целом верны, но имеются арифметич. ошибки и (или) мелкие неточности.
2	Рассмотрен только один вариант расположения окружности, радиус которой необходимо найти. Вычисления проведены верно.
1	Рассмотрен только один вариант расположения окружности, радиус которой необходимо найти. Вычисления содержат ошибку. Возможно два варианта расположения окружности в виде чертежей. Но идей нахождения радиусов нет.
0,5	Сделан верный чертеж к одному из вариантов расположения окружности. Но идей для вычислений радиуса нет.
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.

Решения задач этапа «ГЕОМЕТРИЯ»

Задача 1. Полная поверхность куба – это 6 площадей квадратов со стороной а.

S = 6a2 = 54. Þ а = 3.

Ответ. Ребро куба равно 3.

Задача 2. Три медианы треугольника делят его

на 6 равновеликих треугольников.

Так как , то .

.

Ответ. АН = 4.

Задача 3. Достроить до прямоугольника со сторонами 10 и 8 (см. рисунок).

Чтобы найти площадь четырехугольника АВСD, нужно из площади прямоугольника вычесть 4 площади прямоугольных треугольников, катеты которых легко определяются.

Ответ. SABCD = 47,5.

Задача 4. В плоскости основания АВСD провести перпендикуляр DH на диагональ АС.

DH ^ AC (по построению)

DH ^ AA1 (так как боковое ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно любой прямой плоскости).

Следовательно, DH ^ (АС1С).

Тогда A1H – проекция A1D на плоскость АС1С и ÐDA1H – искомый.

Синус угла найдем из прямоугольного треугольника A1DH: .

DACD: ;

DAA1D: .

. Ответ.

Задача 5.

Возможны два варианта расположения окружности, которая касается исходной окружности и вписана в данный угол. Так как окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны стороне угла.

Рассмотрим подобие прямоугольных треугольников с острым углом 30°: АОВ и АО1С. ОВ = АО = 5 (свойство прямоугольного треугольника с углом 30°).

I случай.

АО1 = АО – OD – O1D = 10 – 4 – r = 6 – r.

Из подобия выпишем пропорцию: Þ r = 2.

II случай.

АО1 = АО + OD + O1D =

= 10 + 4 + R = 14 + R.

Из подобия выпишем пропорцию: Þ R = 14.

Ответ. Радиус может равняться 2 или 14.

Этап тождественные преобразования

1.  (1 балл) Упростить

2.  (2 балл) Задание а) необходимо выполнять тем, кто по программе изучал логарифмы, задание б) – тем, кто изучал производную. Баллы выставляются только за одно из заданий или а) или б).

а) Найдите наименьшее значение функции

б) На сколько наибольшее значение функции больше наименьшего значения?

3.  (2 балла) Упростить. При каких значениях выражение не имеет числового значения?

4.  (2 балла) Упростить

5.  (2 балла) Разложить на множители

6.  (3 балла) Упростить