Квадратный трехчлен и теорема Виета (стр. 1 )

Этап Квадратный трехчлен и теорема Виета

1.  (1б) Какой из графиков иллюстрирует решение данного уравнения

2.  (1б) Определить значение выражения , где - корни уравнения .

3.  (2б) По графику определить знак выражения , где p, m и n – коэффициенты .

4.  (2б) В зависимости от значений параметра a, определите число корней уравнения (совпадающие корни считать за один корень) ?

5.  (3б) При каком значении параметра a система уравнений имеет ровно три решения?

6.  (3б) При каких p все корни уравнения больше 1?

РЕШЕНИЯ

За арифметическую ошибку во всех задачах снимается 0,5 баллов

Задача 1.Решение.

Старший коэффициент отрицательный, следовательно, ветви графика направлены вниз. Уравнение имеет отрицательный дискриминант, следовательно, не имеет корней. Поэтому правильный график размещен под цифрой 2.

Критерии оценки.

1 балл	Верно определено направление ветвей параболы, определено, что корней квадратное уравнение не имеет. Данные правильно интерпретированы, указан правильный ответ.
0,5 балла	Допущена арифметическая ошибка, в результате которой данные изменились. С учетом ошибки задание решено верно.
0 баллов	Не выполнено ни одно из перечисленных выше условий

Задача 2.Решение.

Ответ. 10.

Критерии оценки.

1 балл	Задача верно сведена к возможности использования теоремы Виета. Терема применена верно. Получен правильный ответ.
0,5 балла	Ход решения верен, но решение не доведено до конца.
0 баллов	Не выполнено ни одно из перечисленных выше условий

Задача 3.Решение.

Ветви параболы опущены вниз, значит, p<0, n (свободный член) - точка пересечения графика функции с осью ОY, n=3>0. Вершина параболы х0>0; , откуда m>0.

Критерии оценки.

2 балла	Верно определены знаки всех трех коэффициентов. Правильно определен знак искомого выражения
1,5 балла	Верно определены знаки коэффициентов, но общий вывод о знаке сделан не верно. Или задача решена верно, но нет достаточных обоснований для знака m.
1 балл	Задача решена верно в условиях неверно определенного знака среднего коэффициента m.
0,5 балла	Правильно определены знаки двух из трех коэффициентов. В остальном задача решена не правильно.
0 баллов	Не выполнено ни одно из перечисленных выше условий

Задача 4.Решение.

преобразуем к виду

1.  число решений

2.  - одно решение

3.  Число решений квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта: . поэтому дискриминант не может быть равен нулю, а уравнение иметь один корень. a<1 – два решения, a>1 – нет решений.

Ответ - два решения; a=0 – 1 решение, a=1 - ∞ число решений a>1 – нет решений.

Критерии оценки.

2 балла	Рассмотрены все случаи. Получен правильный ответ.
1,5 балла	Ход решения верен, но при решении итогового неравенства не верно выбраны вернее промежутки.
1 балл	Неверно определено число решений при а=1
0,5 балла	Описана идея решения
0 баллов	Не выполнено ни одного из вышеназванных условий.

Задача 5 .Решение.

1 способ (графическое решение)

Представим графическое решение системы .

Графиком второго уравнения системы является окружность с центром в начале координат и радиусом равным трем. Графиком первого уравнения системы является парабола, сдвинутая на a вверх (если a отрицательно) или на a вниз (если a положительно).

Для того чтобы система имела три решения, должно существовать три точки пересечения. Это возможно в единственном случае, когда парабола сдвинута на 3 единицы вниз, т. е. а=3.

Критерии оценки.

3 балла	Приведена верная графическая иллюстрация. Получен верный ответ.
2 балла	Приведена верная графическая иллюстрация. Неправильно определен знак сдвига параболы.
1 балл	Идея решения верная, но допущена ошибки при построении графиков
0,5 баллов	Правильно выполнена графическая иллюстрация, но выводов не сделано.
0 баллов	Не выполнено ни одного из вышеназванных условий.

2 способ (алгебраическое решение)

Подставим значение y из первого уравнения во второе, получим биквадратное уравнение , которое должно иметь ровно три различных корня (так как затем y из первого уравнения определяется однозначно). Биквадратное уравнение имеет три корня, если квадратное уравнение имеет два корня, один из которых положительный, а другой – ноль. Это возможно при реализации следующих условий:

Ответ. 3

Критерии оценки.

3 балла	Задача верно сведена к биквадратному уравнению. Проанализированы корни этого уравнения. Получен верный ответ
2 балла	Задача верно сведена к биквадратному уравнению, при решении которого учтены не все условия
1 балл	Задача верно сведена к биквадратному уравнению, при решении которого учтены не все условия и допущена ошибка в решении системы
0,5 балла	Описана идея решения
0 баллов	Не выполнено ни одного из вышеназванных условий.

Задача 6.Решение.

Условия задачи удовлетворяют схематическим чертежам.

Поэтому, корни уравнения больше 1, если выполнены следующих условия:

Ответ

Критерии оценки.

3 балла	Задача верно сведена к системе условий. Все неравенства решены верно. Получен правильный ответ.
2 балла	Задача верно сведена к системе условий. Все неравенства решены верно. Ответ отличается от верного конечным числом точек.
1 балл	Задача верно сведена к системе условий. При решении неравенств, или системы неравенств допущены ошибки, в результате которых получен неверный ответ.
0,5 балла	Описана идея решения
0 баллов	Не выполнено ни одного из вышеназванных условий.

Этап НЕРАВЕНСТВА.

1. Решить неравенство . (1 балл)