Ошибка глобуса... или Поверхности второго порядка в канонической форме (стр. 2 )

M F - M F = 2а. И наоборот. Эти условия, определяющие гиперболу, можно написать в виде

М F-М F= ±2а (12)

Заметим, что а<с, так как 2а<2с (разность двух сторон треугольника меньше его третьей стороны). Если а=с, то мы получаем точки М, для которых совокупность всей тех точек прямой, проходящей через фокусы, которые лежат вне отрезка F F. Поэтому случай 2а=2с естественно исключить.

Далее вывод канонического уравнения гиперболы проводится аналогично выводу канонического уравнения эллипса. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

, где (13)

b2 =с2- а2.

Подобно эллипсу, гипербола симметрична относительно обеих осей координат. Она состоит из двух частей, которые называются ее ветвями. Из уравнения (13) при у=0 получаем х=± а, т. е. гипербола пересекает ось 0х в двух точках : А(а;о) и А (-а; о); называемых вершинами гиперболы. Отрезок АА называется действительной осью гиперболы.

Прямые у = ±х называется асимптотами гиперболы. При увеличении х по абсолютной величине ветви гиперболы все ближе прилегают к своим асимптотам. Для построения асимптот гиперболы целесообразно предварительно построить прямоугольник со сторонами 2а и 2 b, параллельными координатным осям и с центром в начале координат (такой прямоугольник называется основным прямоугольником гиперболы).

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение ε =. Так как а<с, то для любой гиперболы ε>1. Учитывая, что b2 =с2- а2, имеем:

ε 2= (14)

Отсюда видно, что, чем меньше эксцентриситет гиперболы, т. е. чем ближе он к единице, тем больше вытянут основной прямоугольник по оси Ох.

Если у гиперболы (4) а= b, то она называется равн6осторонней (или равнобочной) и ее уравнение имеет вид:

х2-у2= а2. (15)

Асимптотами для равносторонней гиперболы (15) служат взаимно перпендикулярные прямые у=± х. поэтому их можно принять за оси прямоугольной системы координат и рассматривать эту равностороннюю гиперболу по отношению к этим новым осям. Взяв на указанной гиперболе произвольную точку М (х;у), (рис.5) выразим новые координаты Х и У точкиМ через старые х и у.

Х=(х-у), (16)

Рис. 5

У=(х+у). (17)

Перемножив равенства (16) и (17) и приняв во внимание равенство (15), получим:

ХУ = (х2-у2)= а2. (18)

Следовательно, уравнению ху = а, где а>0, соответствует равносторонняя гипербола, имеющая своими асимптотами оси координат и лежащая в I и III квадрантах. Легко понять, что при а < 0 эта гипербола лежит во II и IV квадрантах. (рис.6)

Рис. 6

В) Определение и каноническое уравнение параболы.

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F (называемой фокусом параболы) и от данной прямой l (называемой директрисой параболы; предполагается, что F не лежит на l).

Для вывода канонического уравнения параболы проведем ось Ох прямоугольной системы координат через фокус F перпендикулярно директрисе, начало координат О поместим на равных расстояниях от фокуса и директрисы (рис.7). Расстояние от фокуса до директрисы обозначим через р (оно называется параметром параболы). В этом случае фокус будет иметь координаты F , а уравнение директрисы будет

(19)

Рис. 7

Возведем произвольную точку М (х;у) параболы. Согласно определению параболы имеем:

М F= МА

(точка А имеет координаты ()), или по формуле расстояния между двумя точками:

(20)

Отсюда

, (21)

или

(22)

и окончательно:

(23)

Последняя формула и есть каноническое уравнение параболы. Парабола, отвечающая последнему уравнению, изображена на рисунке 7.

Исходное уравнение (23) имеет смысл только для неотрицательных значений х, т. е. все точки параболы лежат в I и IV квадрантах. Так как уравнение содержит у2, то парабола симметрична относительно оси Ох. Вершиной параболы называется точка пересечения параболы с ее осью симметрии. При возрастаниях значения у возрастают по абсолютной величине. В отличие от гиперболы парабола не имеет асимптот. Ось симметрии параболы называется осью параболы. Парабола, определяемая уравнением имеет ось, совпадающую с осью Ох.

3. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения.

А) Эллипсоиды

Поверхность второго порядка, замкнутая, имеющая центр и пересекаемая всякой плоскостью по эллипсам или кругам, называется эллипсоидом. На прилагаемом чертеже (рис. 3) изображен эллипсоид с тремя неравными главными взаимно перпендикулярными полуосями: большой а = OA, средней b = OB и малой с = ОС. Если начало координата взято в центре О эллипсоида., ось Ох расположена по A'ОА, ось Оу по B'ОВ и ось Оz по C'OC, то уравнение эллипсоида будет:

(24)

Рис.8

Поверхность эта обладает следующими геометрическими свойствами. Если через какую-нибудь точку её провести касательную к ней плоскость, то пересечения всех плоскостей, ей параллельных, с поверхностью эллипсоида будут эллипсы, подобные друг другу, с параллельными между собой большими главными осями и с параллельными между собой главными малыми осями.(рис.8)

Рис.9

Докажем это.

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости хОу; пусть это будет плоскость z = h, и пусть при этом <с. Тогда линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями:

. (25)

Обозначив через 2 положительное число , последнего уравнения перепишем в виде Мы видим, что сечение эллипсоида плоскостью z = h (<с) представляет собой эллипс с полуосями ak и bk, уменьшающимися с увеличением; при = с этот эллипс стягивается в точку – вершину эллипсоида. Совершенно аналогичная картина выявляется при рассмотрении сечений эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям xOz и yOz. Отметим только, что сама плоскость xOz пересекает эллипсоид по эллипсу, который определяется уравнениями

(26)

Плоскость yOz – по эллипсу, который определяется уравнениями

. (27)

Если две полуоси эллипсоида равны, например а=b, то получаем уравнение

(28)

Пересекая этот эллипсоид плоскостью z=h, параллельной плоскости хОу, получим окружность

(29)

C центром на оси Oz. Поэтому такой эллипсоид может быть получен вращением эллипса,

(30)

расположенного в плоскости xOz вокруг оси Oz. Эллипсоид (24) называется эллипсоидом вращения.

Если же все три полуоси эллипсоида (1) равны: a=b=c, то получаем:

x2 +y2 + z2=a2, (31)

т. е. сферу, которая, таким образом, оказывается частным случаем эллипсода.

Та плоскость, параллельная касательной плоскости, которая проходит через центр эллипсоида, называется диаметральной плоскостью, сопряженной диаметру, проведенному через центр и точку касания. Диаметры А'А, B'B, C'С называются главными диаметральными, а плоскости эллипсов CВC'В ', ACA'C', ABA'B' — главными диаметральными плоскостями. На главном диаметральном эллипсе АСА'C' имеются четыре точки, расположенные на концах двух диаметров этого эллипса, наклоненных к оси Ох под углами.