Ошибка глобуса... или Поверхности второго порядка в канонической форме (стр. 4 )

Рис.16

Двуполостный гиперболоид вращения

В) Параболоиды

Эллиптическим параболоидом (рис.17) называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат Охуz определяется уравнением

, (47)

Рис. 17

Эллиптический параболоид

а гиперболическим параболоидом (рис.18) – поверхность, определяемая уравнением

. (48)

Рис. 18

Гиперболический параболоид.

Уравнения (47)и (48)называются каноническими уравнениями параболоидов.

Плоскости и уОz являются плоскостями симметрии параболоидов. Пересечение этих плоскостей (ось Оz) называется осью параболоида, а пересечение оси Оz с поверхностью параболоида – вершиной.

Оба параболоида (эллиптический и гиперболический) плоскостями, параллельными координатным плоскостям и уОz , пересекаются по параболам. Так, плоскость

х = h пересекает эллиптический параболоид по параболе

. (49)

Из уравнения (47)следует, что плоскость z=h,(h>0), параллельная плоскости xOy, пересекает эллиптический параболоид по эллипсу, а из уравнения (48) следует, что плоскость z=h,(h≠0), пересекает гиперболический параболоид по гиперболе. Плоскость xOy пересекает гиперболический параболоид по двум прямым.

При а=b эллиптический параболоид называется параболоидом вращения. Он получается при вращении параболы , у=0, около оси Оz.

Г) Цилиндры второго порядка

Цилиндры второго порядка определяются в прямоугольной системе координат Охуz уравнениями:

(50)

 — эллиптический цилиндр, в частности при а = b круговой; (рис. 19)

Рис. 19

— гиперболический цилиндр (рис. 20)

(51)

Рис. 20

 — параболический цилиндр (рис. 21)

(52)

Рис. 21

Эти три уравнения называются каноническими уравнениями цилиндров. Эти уравнения не содержат переменной z. На плоскости xOy первое уравнение определяет эллипс с полуосями а и b. Если точка (х;у) лежит на этом эллипсе, то при любом z точка (х;у;z) лежит на поверхности (1). Совокупность таких точек есть поверхность, описанная прямой, параллельной оси Оz и пересекающей эллипс

(8)

и плоскости xOy.

Этот эллипс называют направляющей линией данной поверхности, а все возможные положения движущейся прямой – образующими.

Вообще поверхность, описываемая прямой, остающейся параллельной некоторому заданному направлению и пересекающей данную линию L, называется цилиндрической.

В случае гиперболического и параболического цилиндров направляющими линиями поверхностей являются гипербола и парабола, а образующими - прямые, параллельные оси Оz и проходящие через гиперболу и параболу в плоскости xOy.

Д) Конусы второго порядка

Конусом второго порядка или, кратко, конусом (рис. 22) называется поверхность, определяемая в прямоугольной системе координат Охуz уравнением

(53)

Рис. 22

Это уравнение (53) называется каноническим уравнением конуса. Эта поверхность симметрична относительно координатных плоскостей. Начало координат, являющееся центром симметрии, принадлежит этой поверхности и называется вершиной конуса. Сечениями конуса плоскостями х=0 и у=0 являются прямые z = ± и z = ±x. В плоскости z=h,(h≠0) имеем эллипс c полуосями а=. Если а=b, то конус называется конусом вращения. Для конуса вращения в плоскости z=h,(h≠0) имеем окружность .

5.  Построение моделей некоторых поверхностей в электронной таблице EXCEL.

Рассмотрим построение поверхностей второго порядка при помощи EXCEL.

Как известно, создание любого графика в Excel начинается с создания таблицы, в которой устанавливается зависимость между аргументами, которых может быть несколько, и функций.

В самом начале создания таблицы определим шаг изменения аргумента. Иногда уже после создания диаграммы приходится несколько раз менять шаг или начальные и конечные значения функции. В результате нескольких таких итераций определяются оптимальные параметры диаграммы и график приобретает лучшую наглядность. Дело в том, что большое количество функций имеет несколько минимумов и максимумов, которые не всегда удается отразить с первого раза.

Для построения поверхности, по которой можно что-то определить с заданной точностью и при этом не потерять ее наглядность, быстро сделать красивую диаграмму, требуются определенные навыки работы в Excel.

Для создания диаграмм типа «поверхность» (пространственных объемных диаграмм) необходимо иметь представление об относительных и абсолютных адресах ячеек и уметь работать с ними.

Построим полусферу в изометрической проекции по формуле , выполняя следующие действия.

В ячейки В3:В9 вводим числа от -4 до 4 включительно с шагом 0,5. Аналогично заполним ячейки С2:S9 (в ячейку С2 вводится число -4). В ячейку С3 введем формулу = КОРЕНЬ(16-В3^2-$C$2^2) и распространяем ее с помощью маркера заполнения вниз до ячейки С19. Далее в ячейках С3:С9 в расположенных там формулах поменяем относительные адреса ячеек, на которые ссылается формула, на абсолютные, а абсолютные – на относительные. Это нужно для того, чтобы при горизонтальном распространении формул ссылки в формулах на столбец В3:В19 не менялись. Поменять относительные адреса ячеек на абсолютные и наоборот можно следующим образом.

Выделим ячейку, в которой необходимо поменять адреса, затем щелкнем мышью в строке формул на конкретном адресе, подлежащем изменению, и, нажимая несколько раз клавишу F4, измененяем адрес на нужный. Завершим изменения в формулах нажатием клавиши Enter.

Получив матрицу размера 17Х17, удалим из нее данные, при которых происходит извлечение квадратного корня из отрицательного числа (рис. 23)

Рис 23

Программа подскажет эти ячейки, выдав в них сообщение об ошибке. Для построения диаграммы выберем тип Поверхность. Диаграмма строится стандартным способом.

Полученная диаграмма будет выглядеть, как показано на рисунке 24.

Рис. 24

Интересные результаты получатся, если во всех формулах построения полусферы изменить число 16 на другое число, например, на 30 или 40. Получим диаграмму, изображенную на рисунке 25.

Рис. 25

Построим поверхность гиперболического и эллиптического параболоидов.

В ячейках А1 и В1 находятся параметры а и b соответственно. Для гиперболического параболоида а=4 и b=5, а для эллиптического – а=1 и b=1. Область изменения независимых переменных х и у – квадрат [-5;5]x[-5;5]. Переменные принимают значения с шагом 0,5.

Для получения ряда данных, вычисляемых по формуле гиперболического параболоида, выполняем следующие действия.

Вводим в ячейку В2 число -5 и после возвращаемся в ячейку В2. выполняем команду Правка, Заполнить, Прогрессия. В диалоговом окне Прогрессии выбираем режим по строкам и тип Арифметическая, вводим шаг 0,5 и предельное значение 5. После нажатия кнопки ОК в строке 2 появится ряд значений от -5 до 5 с шагом 0,5. Мы ввели область изменения переменой х. Аналогичные действия выполним для определения ввода области изменения переменной у с тем отличием, что в окне Прогрессии надо выбрать режим По столбцам, а первое значение ввести в ячейку А3.

Теперь введем формулы для вычисления значений функций. Для этого в ячейку В3 введем формулу = (В$2/$A$1)^2-($A3/$B$1)^2.

Далее распространим эту формулу на всю строку, расположенную под строкой со значениями переменной х. После этого, не отменяя выделения, установим указатель мыши в точку в правом нижнем углу последней выделенной ячейки в строке 3. Затем распространяем выделенные в ячейках формулы на все строки, соответствующие значениям переменной у в столбце А.

Построим трехмерную диаграмму типа «Поверхность» по области А2:V23 на отдельном листе в черно-белом варианте с необходимым оформлением, получим график, показанный на рисунке 26.

Рис. 26

Рис 27

Для построения графика эллиптического параболоида (рис. 27) область А2:V23 скопируем на отдельный лист рабочей книги. На этом листе выделим область без меток строк и столбцов и в этой области знак «минус» заменим на знак «плюс» при помощи команды Правка, Заменить.