Точки эти называются точками закругления. Касательные плоскости к эллипсоиду, проведенные в этих точках, параллельны оси Оу и, значит, перпендикулярны в плоскости XOZ. Плоскости, секущие эллипсоида и параллельные этим плоскостям, дают не эллиптические, но круговые сечения. Те две проходящие через центр плоскости, которые сопряженны двум диаметрам точек закругления, пересекают эллипсоид по двум кругам радиуса b, проходящим через ось Оу.

Б) Гиперболоиды

  1) Однополостным гиперболоидом (рис. 10) называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид


$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,$ (32)

где $ a$, $ b$, $ c$ -- положительные числа.  

Рис. 10

Однополостный гиперболоид

Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy. На этой плоскости $ {z=0}$, поэтому

$\displaystyle (33)

Это уравнение на плоскости xOy задает эллипс с полуосями $ a$и $ b$(рис.3). Найдем линию пересечения с плоскостью yOz. На этой плоскости $ {x=0}$, поэтому

$\displaystyle (34)

Это уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось равна $ b$, а мнимая полуось равна $ c$. Построим эту гиперболу (рис. 11).

Рис.11

Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями

Сечение плоскостью $ xOz$также является гиперболой с уравнением

$\displaystyle (35)

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью yOz (рис. 5). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями $ {z=\pm h}$, $ h>0$. Уравнения этих линий

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

$\displaystyle (36)

Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle (37)

то есть к виду


$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$ (38)

где

$ a_1=a\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}$, $ b_1=b\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}$. (39)

Уравнение (8)является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия $ \sqrt{1+\frac {h^2}{c^2}}$и полуосями aи. Нарисуем полученные сечения (рис. 12).


Рис.12

Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений

Если в уравнении (32) $ {a=b}$, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы,

лежащей в плоскости yOz, вокруг оси $ Oz$(рис. 13).

Рис.13.

Однополостный гиперболоид вращения

2) Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

$\displaystyle (40)

где $ a$, $ b$, $ c$ -- положительные числа.  

Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy. На этой плоскости $ {z=0}$, поэтому

(41)$\displaystyle

Координаты ни одной точки плоскости xOy не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью yOz. На этой плоскости $ {x=0}$, поэтому

$\displaystyle(42)

Это уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось равна $ c$, а мнимая полуось равна $ b$. Построим эту гиперболу (рис. 14).


Рис.14

Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью yOz

Сечение плоскостью $ xOz$также является гиперболой, с уравнением

$\displaystyle (43)

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью yOz (рис. 14).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями $ {z=\pm h}$, $ h>0$. Уравнения этих линий

$\displaystyle (44)

Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если $ {\vert h\vert<c}$. Если $ {h=c}$или $ {h=-c}$, то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку $ (0;0;c)$или $ (0;0;-c)$. Эти точки называются вершинами гиперболоида.

Пусть $ \vert h\vert>c$. Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle(45)

то есть к виду

$\displaystyle (46)

где $ a_1=a\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}$, $ b_1=b\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}$. Уравнение (46) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия $ \sqrt{\frac {h^2}{c^2}-1}$и полуосями a и. Нарисуем полученные сечения (рис. 15).


Рис.15

Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений

Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке 16.

Рис.16

Двуполостный гиперболоид

Если в уравнении (46) $ {a=b}$, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости уОz, вокруг оси $ Oz$(рис 17).

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5