Ошибка глобуса... или Поверхности второго порядка в канонической форме (стр. 1 )

Российская Федерация

Ханты-Мансийский автономный округ - Югра

(Тюменская область)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

САРАНПАУЛЬСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

628148 ул. Вокуева, 12 с. п.Саранпауль Ханты-Мансийского автономного округа, Тюменской области, Березовского района

Тел.45-888 Факс 45-890

(Исследовательская работа)

Автор:

Розявченко Юлия,

ученица 11А класса

Руководитель:

,

учитель математики

Саранпауль-2007

Содержание

1.Введение

А) Актуализация……………….………………………………………………………….3

Б) Проблема………………………………………………………………………………. 4

В) Гипотеза………………………………………………………………………………...4

Г) Цель……………………………………………………………………………………..4

Д) Задачи…………………………………………………………………………………..4

2. Кривые второго порядка в канонической форме.............................................................4

А) Определение и каноническое уравнение эллипса…………………………………..4

Б) Определение и каноническое уравнение гиперболы………………………………..6

В) Определение и каноническое уравнение параболы…………………………………8

3. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения....................................10

А) Эллипсоиды……………………………………………………………………….......10

Б) Гиперболоиды…………………………………………………………………………13

1. Однополостный гиперболоид…………………………………………….13

2. Двуполостный гиперболоид……………………………………………...16

В) Параболоиды………………………………………………………………………….19

Г) Цилиндры второго порядка…………………………………………………………..20

Д) Конусы второго порядка……………………………………………………………..22

4 Построение моделей некоторых поверхностей в электронной

таблице EXCEL.....................................................................................................................23

5 Заключение………………………………………………………………………………...30

6 Использованная литература……………………………………………………………31

1. Введение

А) Актуализация.

В древности люди полагали, что живут на обширной плоской поверхности, хотя и покрытой кое-где горами и впадинами. Это убеждение сохранялось на протяжении многих тысяч лет, пока Аристотель в IV веке до н. э не заметил, что уходящее в море судно пропадает из виду не потому, что по мере удаления уменьшается до недоступных глазу размеров. Напротив, сначала исчезает корпус корабля, потом паруса и, наконец, мачты (рис. 1). Это привело его к заключению, что Земля должна быть круглой. Точнее, Земля имеет форму шара. Особенно видна шарообразная форма Земли на космических снимках (рис 2).

Рис.1

Одно из доказательств шарообразности Земли

Рис. 2

Вид Земли из космоса.

Специально произведенные измерения дают точные сведения о размерах Земли. Площадь поверхности нашей планеты составляет 510 000 000 км2. Расстояние от центра Земли до экватора равно 6378 км, а до полюсов – 6356 км, то есть у полюсов наша планета немного сплюснута. Т. е. длина экватора больше длины меридиана. Значит название «Земной шар» не отражает истинную форму Земли. Но такое тело, представляющее собой Землю, не изучается в школьном курсе стереометрии.

Б) Проблема:

Какую пространственную фигуру представляет поверхность Земли? Как построить ее модель и модели, аналогичные данной, в электронной таблице EXCEL?

В) Гипотеза:

Поверхность Земли не относится ни к одной элементарной поверхности, изучаемой в школе и, значит, относится к поверхностям второго порядка.

Г) Цель:

Изучить поверхности второго порядка и их построение, создать модели этих поверхностей, используя электронную таблицу EXCEL.

Д) Задачи:

1.  Изучить теоретический материал, используя учебник высшей математики.

2.  Научиться строить данные поверхности

3.  Изучить возможности Excel для построения поверхностей второго порядка.

4.  Создать модели некоторых поверхностей, используя таблицу EXCEL

2. Кривые второго порядка в канонической форме.

А) Определение и каноническое уравнение эллипса.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек Fи F (называемых фокусами эллипса) есть величина постоянная, равная 2а.

Рис. 3

Выведем уравнение эллипса. Для этого выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ох проходила через фокусы Fи F (расстояние между фокусами обозначим через 2с), а начало координат находилось в середине отрезка FF.

Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса. Согласно определению эллипса имеем:

M F + M F = 2а (1)

Или по формуле расстояния между двумя точками запишем:

(2)

Это и есть уравнение эллипса. Приведем его к каноническому (т. е простейшему) виду. Имеем:

(3)

Возведем обе части последнего неравенства в квадрат:

х2+ 2хс +с2+ у2= 4а2 – 4а + х2 – 2хс +с2 + у2 (4)

откуда

а= а2 –сх (5)

Возведем теперь в квадрат обе части равенства (5):

а2 х2-2 а2сх+ а2 с2 + а2 у2= а4 – 2а2сх +с2х2,

откуда

(а2-с2)х2 + а2 у2= а2 (а2-с2). (6)

Замети, что а2-с2>0, так как 2а >2с, или а >с (сумма двух сторон треугольника больше третьей его стороны; случай 2а=2с естественно исключить, так как тогда получаем совокупность всех точек М, для которых M F + M F = FF, т. е отрезок FF.) Поэтому обозначив а2-с2 через b2, получаем:

b2 х2+ а2 у2= а2 b2 (7)

Деля обе части последнего равенства на а2b2, получаем каноническое уравнение эллипса:

(8)

Так как уравнение (8) содержит текущие координаты х и у только в четных степенях, то при замене х на –х, а у на - у это уравнение не изменяется, т. е эллипс симметричен относительно обеих осей координат. Из уравнения (8) при у=0 получаем

х = ± а, т. е эллипс пересекает ось Ох в двух точках: А (а; о) и А (-а; о); при х=0 получаем у = ± b, т. е эллипс пересекает ось Оу в двух точках: В (о; b) и В(о; - b). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок АА называется большой осью эллипса, а отрезок ВВ – его малой осью. Следовательно, а – длина большой полуоси эллипса, b - длина его малой полуоси.

В частном случае, когда а= b, уравнение (8) принимает вид х2+ у2= а2 и определяет окружность с центром в начале координат. В этом случае с=0.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси, т. е.

ε =. (9)

Так как с‹ а, то для любого эллипса 0≤ε<1 (случай ε=0 соответствует окружности). Эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса. Действительно, из (9) и того, что b2= а2- с2, следует:

ε 2 = , (10)

И, значит,

(11)

Отсюда видно, что, чем больше ε, тем меньше отношение и тем больше вытянут эллипс.

Эксцентриситет (ε), длины полуосей (а и b ), расстояние между фокусами (2с)- параметры, которые полностью определяют эллипс с центром в начале координат.

Б) Определение и каноническое уравнение гиперболы.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, разность расстояний каждой из которых до двух данных точек Fи F(называется фокусами гиперболы) есть величина постоянная, равная 2а.

Обозначим через 2с расстояние между фокусами Fи F (рис.4)

Рис.4

Пусть М (х;у)- произвольная точка гиперболы. Тогда по определению