«Формулы Виета как один из способов решения кубических уравнений » (стр. 2 )

Решение уравнений третьей степени Николо Тартальей.

Пачоли закончил раздел «Суммы» об алгебраических уравнениях замечанием о том, что для решения кубических уравнений и

(коэффициенты а и b предполагаются положительными): «Искусство алгебры еще не дало способа, как не дан еще способ квадратуры круга». Сравнение звучит внушительно, а авторитет Пачоли был настолько велик, что большинство математиков считало, что кубические уравнения в общем случае решить вообще нельзя.

Именно эти слова Пачоли послужили отправным пунктом для работ итальянских алгебраистов по решению кубических уравнений в радикалах, открытие которого было первым крупным математическим достижением европейских ученых, существенно превзошедших открытия математиков Востока.

Однако нашелся человек, которого мнение Пачоли не остановило. Это был профессор математики Болонского университета Сципион дель Ферро (1465 – 1526). Он нашел способ решать уравнения . (1)

Отрицательными числами тогда еще не пользовались и, например, уравнение

(1)*

воспринималось как совсем другое. Об этом решении известны лишь косвенные сведения. Свое решение дель Ферро не опубликовал, а сообщил его (по одним источникам – около 1506 года, а по другим источникам – в 1515 году) своему зятю и преемнику по кафедре Аннибалу дела Наве и ученику Антонио Марио Фиоре.

С современной точки зрения утаивание научного открытия может показаться странным. Но в те времена поступок Дель Ферро был легко объясним. Журналов, предназначенных для публикации научных статей, еще не было, выпуск книги – дело длительное и дорогостоящее. Но главное даже не в этом. Обладание общим методом решения некоторого класса задач доставляли ученому большие преимущества перед другими математиками. В описываемую эпоху получил распространение особый вид общения и соревнования ученых – научный диспут (поединок, турнир). Такой поединок по математике состоял в том, что два математика предлагали друг другу для решения определенное количество задач (несколько десятков) с числовыми данными. Выигрывал поединок тот, кто решал большее число предложенных задач. Победитель получал денежное вознаграждение и известность; нередко ему предлагались должности на выгодных условиях.

Неизвестно, принимал ли участие дель Ферро в таких диспутах, но Фиоре, математик посредственный, участвовал в турнирах неоднократно. Основным его «оружием» был способ, найденный дель Ферро для решения уравнения . 12 февраля 1535 года его жертвой едва не стал Николо Тарталья.

Николо Тарталья (1500 – 1557), настоящая фамилия которого, по-видимому, Фонтана, был выдающимся математиком, обладал блестящими способностями и большой силой воли. Он прожил тяжелую жизнь. Шестилетним мальчиком в 1560 году он вместе с родственниками спасался в церкви от жестокости завоевателей его родной Бреши – французских солдат. Старинный обычай прятаться в храмах не уберег от несчастья: Тарталья получил увечье гортани (в некоторых источниках – языка, нижней челюсти от удара саблей). После этого он остался на всю жизнь заикой, что отразилось на его прозвище («tartaglia» - «заика»).

Бедность не позволила Тарталье получить достаточное образование: он не мог даже обучиться грамоте. Мальчик под наблюдением учителя выучил лишь половину алфавита. Дальше Тарталья овладевал знаниями уже самостоятельно и проявил необыкновенную любовь к наукам и настойчивость в учении.

Тарталья был «опытным» бойцом в математических поединках и надеялся одержать над Фиоре легкую победу. Он не испугался и тогда, когда обнаружил, что все 30 задач Фиоре содержат уравнения (1) при различных а и b . Тарталья думал, что Фиоре сам не умеет решать предложенные задачи и надеялся разоблачить его. Когда уже почти истекли 50 дней, после которых надлежало сдать решения нотариусу, до Тартальи дошли слухи, что Фиоре обладает таинственным способом решения уравнения (1). Тарталья приложил титанические усилия, и за восемь дней до назначенного срока (срок истекал 12 февраля 1535 года) желанный способ был найден. За два часа Тарталья решил все задачи. Его противник не решил ни одной. Странным образом он не справился с одной задачей, которую можно было решить по формуле дель Ферро (Тарталья дал задачу, имея в виду искусственный прием). Впрочем, воспользоваться формулой было нелегко. Через день после диспута Тарталья нашел способ решать уравнение (2).

Все это было величайшим открытием. Нужно обладать достаточным мужеством, чтобы взяться за задачу, не поддававшуюся усилиям выдающихся математиков около двух тысячелетий. Популярность Тартальи сильно возросла: его приглашали преподавать математику в Вероне, Венеции, Пьяченце, Бреши.

Первым кубическим уравнением, решенный Тартальей было уравнение

. (1)

Он никогда не писал о пути, приведшем его к решению, но итальянскому историку математики Э. Бортолотти удалось восстановить его ход рассуждений.

Предположим, что корнем уравнения (1) является выражение

. (2)

Возведем обе части этого выражения в квадрат и куб, получим соответственно

, (3)

. (4)

Умножим обе части равенства (3) на сумму , а обе части равенства (4) на 2а . Сложение полученных результатов даст равенство

. (5)

Теперь разделим почленно равенство (5) на 2а :

. (6)

Из сравнения уравнений (1) и (6) следует, что

, (7)

. (8)

Из равенства (7) выразим b :

и, подставив его значение в равенство (8) , получим выражение для r :

. (9)

Следовательно, если постоянный член уравнения (1) определяется выражением (9) , то одним из корней этого уравнения будет .

Это важный, но все-таки частный результат. Все, что удалось найти Тарталье, заключается в обнаружении вида одного из корней уравнения (1) и открытия способа составления кубического уравнения по его заданному корню вида .

Для того, чтобы получить общую формулу решения, необходимо определить значение а из равенства (9), т. е. опять решить полное кубическое уравнение, чего Тарталья сделать не мог. Следующим его достижением было решение уравнения вида

. (10)

Вероятно, так же, как и в предыдущем случае, он попытался искать решение в форме какого-либо иррационального выражения и методом «проб и ошибок» пришел к двучлену вида

. (11)

Если, с одной стороны, возвести обе части равенства (11) в куб:

, (12)

а, с другой стороны, умножить обе части равенства (11) на :

, (13)

и почленно сложить равенства (12) и (13), то придем к уравнению

. (14)

Из сравнения равенств (10) и (14) следует, что

. (15)

Из равенства (15) получим уравнение для отыскания u :

.

Вычислив затем u и проделав несложные выкладки, мы придем к знаменитой формуле, которая во всех учебниках алгебры именуется (не совсем справедливо) формулой Кардано:

.

Аналогичным путем, отправляясь от выражения

,

Тарталья получил решение уравнения вида

. (16)

О поединке Тарталья – Фиоре знали многие. После него Тарталья отверг несколько просьб раскрыть его способ решения кубических уравнений. Но нашелся проситель, который добился своего. Это был Джироламо Кардано (который, правда, клятвенно заверил Тарталью никогда не публиковать и никому не сообщать полученные сведения).

25 марта 1539 года Тарталья сообщил свое решение («великий секрет») Кардано в форме латинского стихотворения («capitola in rima» − «главы в стихах»):

Когда куб рядом с вещью

Вместе равны какому-либо числу,

То найди два других числа,

На него разнящихся,

Потом допусти и всегда держись

Этого правила, что их произведение

Должно равняться кубу третьей вещи.

Возьми от них стороны куба

И правильно вычти их.

Остаток даст тебе искомую вещь…

Расшифруем послание:

«куб рядом с вещью» −
«число» −	r
«на него разнящихся» −	u – v = r
произведение, равное «кубу третьей вещи» −
«правильно вычти их» −
«остаток» −	x

Далее аналогичным образом излагалось правило решения уравнения (16). Что касается третьего уравнения , (17)