Виет называл величину D, участвующую с суммой A + B в образовании прямоугольника 
, «longitude coefficiens» т. е. «содействующей длиной».
Из знаков действий Виет употреблял плюс ( + ) и минус ( − ), произведение выражал словом «in» (в смысле«на»), в случае приложения ставил разделительную дробную черту. Черта над многочленом играла у него роль скобок (правда, случалось, что он применял фигурные скобки). Степени он обозначал, приставляя к соответствующей букве слова «quadratum», «cubus» и т. д. или же их сокращения. Так, в «Дополнении к геометрии» (1593) кубическое уравнение, записанное в современных обозначениях,
в символике Виета имеет вид:
A cubus minus Z quadrato ter in A aequatur Z cubus.
Здесь соблюден, как видно, закон однородности и слово «ter» означает «трижды», а слово «aequatur» − «равняется».
Обозначение степени неизвестной в числовой логистике были проще:
1-я степень − N − numero − число;
2-я степень − Q − quadratum − квадрат;
3-я степень − C − cubus − куб;
и т. д.
В качестве числового примера только что написанного общего уравнения Виет приводит запись
1C – 3N aequatur 1
т. е. 
.
Употребляя для обозначения величин прописные, а не строчные буквы, Виет следовал древним грекам.
Своей символикой Виет пользовался регулярно. Очень часто решение задачи в буквенном виде он сопровождал числовыми примерами. Его символику применяли и некоторые другие математики (среди которых был и знаменитый Пьер Ферма) вплоть до середины XVII века.
Но символика Виета страдала недостатками. Неудобным было словесное обозначение степеней, имеющее главное значение в символической алгебре. К тому же Виет последовательно применял его только к неизвестным величинам, а размерность буквенных коэффициентов устанавливал, приписывая рядом с буквой слова «planum» («плоскость») и «solidum» («тело»), а также их комбинации или их сокращения.
Вот как выглядит, например, уравнение
в сочинении «Об анализе и усовершенствовании уравнений» в издании 1646 года:
A cubus + B plano 3 in A aequatur Z solido 2 .
Корень этого уравнения, найденный по формуле Тартальи – Кардано, в символике Виета имеет вид:
Громоздкость такой символики, обусловленная, в частности, требованием однородности, вскоре стала очевидной. Трудность, связанная с обозначением степеней (которые оказались непригодными для распространения на произвольные показатели) выявилась несколько позднее.
Может показаться, что Виет ввел в символику алгебры совсем немного. Буквами для обозначения величин пользовались еще Евклид, Архимед и Диофант, их успешно применяли Леонардо Пизанский, Иордан Неморарий, Николь Орем, Лука Пачоли, Джироламо Кардано, Рафаэль Бомбелли и многие другие математики. Но сделал существенный шаг вперед Виет. Его символика позволила решать не только конкретные задачи, но и находить общие закономерности и полностью обосновывать их. Это, в свою очередь, способствовало выделению алгебры в самостоятельную ветвь математики, не зависящую от геометрии.
Решение уравнений первых четырех степеней
Преимущества символики предоставили Виету возможность не только получить новые результаты, но и более полно и обоснованно изложить все известное ранее. Если предшественники Виета высказывали некоторые правила или «рецепты» для решения конкретных задач и иллюстрировали их примерами, то Виет дал полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений первых четырех степеней.
Рассмотрим ход рассуждений Виета на примере решения кубического уравнения.
Пусть требуется решить уравнение 
. Положим 
. Выразим отсюда х:
и подставим найденное выражение в исходное уравнение:
.
Для определения t получим квадратное уравнение относительно 
:
.
Из последнего уравнения определяется t , а затем и х.
Заметим, что подстановка 
приводит исходное уравнение к виду:
,
которое вместе с уравнениями
и 
дало бы возможность применить метод дель Ферро – Тартальи. Но Виет не пошел таким путем. Найдем методом Виета действительный корень уравнения
;
здесь а = 8 , b = 28 .
Запишем уравнение относительно t :
и решим его:
Теперь найдем х:
.
Виет, верный последователь древних греков, оперировал только рациональными положительными числами, которые он обозначал буквами. Если в результате подстановки в уравнение значений параметров неизвестная оказывалась иррациональной, он давал этому случаю особое обоснование. В качестве примера такого обоснования приведем «геометрическое» решение кубического уравнения по способу дель Ферро – Тартальи.
Прежде всего, Виет представляет уравнение с помощью своей символики в форме:
.
Известное решение имеет следующий вид: «А есть разность сторон, которые образуют площадь В и разность кубов которых равна D», т. е., если обозначить эти стороны через u и v, то получим соотношения:
Для того, чтобы применить «геометрическое» решение, Виет пишет затем вместо «D solidum» произведение «B planum» на D, так что получается уравнение:
.
Затем он определяет четыре величины, образующие геометрический ряд, так, чтобы прямоугольник, построенный на средних или крайних, равнялся В, а разность крайних равнялась D. В таком случае А будет разностью средних. Если обозначить эти четыре величины через z, u, v, t, то можно выразить сказанное следующим образом:
;
; 
.
Отсюда видно, что оба решения совпадают (если в решении Тартальи D заменить на BD) и что последний способ выражения соответствует античной замене кубического корня двумя средними геометрическими. Действительно, пропорции дают следующие соотношения:
, 
, 
.
Виет особо рассматривал трехчленные уравнения различных степеней и в первую очередь интересовался количеством их корней, имея в виду только положительные корни. Отрицательные корни он определял как корни уравнения, в котором неизвестная х заменена на (−у). Виет получал трехчленные уравнения из квадратных. Он поступал так, чтобы число положительных корней оставалось прежним. При этом он пользовался подстановкой 
или специальными приемами.
Один из приемов Виета выглядит следующим образом. Пусть дано уравнение
, или 
.
Для получения уравнения четвертой степени возведем левую и правую части уравнения в квадрат:
Полученное уравнение можно переписать в виде:
.
Воспользуемся равенством 
, тогда
.
Значит,
,
,
.
Теперь из условного равенства выразим х2: 
и подставим полученное выражение в последнее равенство:
,
,
.
Полученное уравнение четвертой степени имеет те и только те положительные корни, которые были у исходного уравнения.
Для нахождения трехчленного уравнения третьей степени Виет в качестве исходного брал уравнение: 
.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
