«Формулы Виета как один из способов решения кубических уравнений » (стр. 3 )

то здесь Тарталья ограничился следующим замечанием: «Третье выражение … разрешается вторым ввиду того, что по природе своей они почти совпадают». Связь между этими двумя уравнениями состоит в том, что положительные корни одного из них равны модулям отрицательных корней другого.

В случае, когда , уравнение имеет один положительный корень и два мнимых, которые математики XVI века не рассматривали.

В случае, когда , уравнение имеет один положительный корень и два отрицательных, и, следовательно, уравнение имеет два положительных корня и один отрицательный. Этот случай Кардано считал неразрешимым.

Этот «рецепт», по характеру своему напоминавший правила средневековых практических арифметик, был, конечно, вполне достаточен для механического решения кубического уравнения, но не давал никаких указаний для понимания решения и доказательства формулы. Более того, даже такой опытный математик, как Кардано, поначалу его не понял. Попытавшись испытать формулу на уравнении ,

он запутался, так как вместо ошибочно взял и вынужден был обратиться к автору «рецепта» за разъяснением.

Тарталья в письме от 25 апреля 1539 года привел решение уравнения и объяснил Кардано его ошибку, добавив, что справедливость и целесообразность такого способа действий можно легко доказать геометрическим путем.

Получив от Тартальи готовый способ решения уравнения (1) , без всяких намеков на доказательство, Кардано затратил много сил на тщательную проверку и обоснование правила, он провел годы напряженной работы, пытаясь полностью разобраться с решением кубических уравнений. Он получил «рецепты» (ведь формул писать еще не умели) для решения уравнений (1) и (1)* , а также уравнения (1)**

и уравнений, содержащих х2 . Нежелание похоронить результаты многолетней работы привели к тому, что Кардано включил все ему известное о кубических уравнениях (а также об уравнениях 4-й степени) в вышедшую в 1545 году книгу «Великое искусство или О правилах алгебры». Ее стали называть кратко «Великое искусство» («Ars Magna»).

Мотивом, которым руководствовался Кардано, решив нарушить клятву, скорее всего, может служить посещение в Болонье зятя Сципиона дель Ферро, от которого Кардано узнал решение дель Ферро, совпадавшее с найденным Тартальей. Результат был уже десятки лет известен другим людям, которые вовсе не делали тайны из него. Поэтому Кардано мог счесть себя свободным от клятвы.

Справедливости ради следует отметить, что Кардано в «Великом искусстве» указал, что дель Ферро и Тарталье принадлежит честь открытия «такого прекрасного и удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческого духа, истинно небесный дар, прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него недостижимым». Несмотря на столь пышное признание заслуг Тартальи, формула для решения уравнений третьей степени носит название «формулы Кардано».

Алгебраические работы Кардано.

Первые попытки решения кубического уравнения встречаются у Кардано уже в «Практике арифметики». Правда, Кардано удалось справиться лишь с уравнением частного вида, но методы, которые он применял, заслуживают внимания, так как впоследствии он их использовал в «Великом искусстве».

Кардано подметил, что кубическое уравнение иногда удается решить, если добавить к обеим его частям одно и то же выражение, так, чтобы образовался общий делитель, на который можно было бы сократить. При этом решение кубического уравнения сводилось к решению квадратного.

Например, если к обеим частям уравнения

добавить , то после простых преобразований можно получить уравнение

, или ,

откуда

.

Заметим, что Кардано спокойно делит обе части уравнения на двучлен , так как его корнем является отрицательное число (−3), которое, как мы уже отмечали, не учитывалось итальянскими математиками того времени.

Однако частный результат, каким бы изящным методом он не достигался, не идет ни в какое сравнение с общей формулой решения, которую Кардано так и не удалось отыскать. Поэтому можно представить себе его волнение, когда он узнал, что подобной формулой владеет простой учитель арифметики. В конце концов, Кардано удалось получить «великий секрет» и с этого времени начинается второй и наиболее плодотворный этап его алгебраического творчества.

«Великое искусство» Кардано

Итак, в начале мая 1539 года Кардано имел в своем распоряжении:

1)  зарифмованные правила решения уравнений:

и ;

2)  численные пример, разъясняющий применение правила для решения уравнения (10);

3)  указание на геометрический способ доказательства формулы.

Ему оставалось:

1)  найти правило решения уравнения:

2)  доказать справедливость такого способа действий;

3)  найти способ решения остальных десяти кубических уравнений, иначе говоря, тех, в который встречается квадрат неизвестной.

Результаты этих исследований Кардано (вместе с изложением способа решения уравнения четвертой степени, предложенного его учеником Феррари) и образуют основное содержание «Великого искусства» (1545).

Франсуа Виет

Символика Виета

Общие идеи и основные принципы новой алгебры Виет изложил во «Введении в аналитическое искусство» (1591), которое должно было составить начало большого всеобъемлющего алгебраического трактата. Целью Виета было преобразование прежней алгебры в мощное математическое исчисление.

«Искусство, которое я излагаю, − писал он, − ново, или, по крайней мере, настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид… Все математики знали, что под их алгеброй были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти; задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками (людей) с помощью нашего искусства, представляющего поэтому самый верный путь для математических изысканий».

При этом новую алгебру Виет делил на две части: одну, имеющую дело с общими величинами, и другую, опирающуюся на первую и имеющую дело с числами.

Общую алгебру Виет называл «logistica speciosa», т. е. «видовой логистикой» (термин «логистика» у древних греков обозначал совокупность арифметических приемов вычислений, а термин «вид» имел здесь тот же смысл, что и «символ», так как латинские слово «species» среди прочих значений имеет также «вид» и «образ»). Предметом видовой логистики является система математических объектов, частью геометрических, частью псевдогеометрических, связанных между собой отношениями, аналогичными арифметическим.

Эти объекты образуют шкалу, лестницу величин, суть которых сторона (или корень), квадрат, куб, квадрато-квадрат, квадрато-куб и еще бесконечное множество других скаляров («scalares»), принадлежащих к различным реальным или фиктивным размерностям – длине или ширине, площади, объему, площади-площади, площади-объему и т. д. Сложение, вычитание и приравнивание скаляров подчинены, как и в древней математике, «закону однородности» (правилу, по которому производить перечисленные действия можно только с величинами одинаковой размерности).

Когда величины выражены числами, они и отношения между ними образуют предмет «logistica numerosa», т. е. «числовая логистика».

Между обеими частями алгебры существует тесная связь, и многие управляющие ими законы находятся в прямом соответствии. Так, умножению чисел соответствует «проведение» («ductio») одного скаляра по другому, а именно, образование нового скаляра, размерность которого равна сумме размерностей данных величин, аналогично. Аналогично делению соответствует «приложение» («applicatio») скаляров. Благодаря такому соответствию результаты видовой логистики можно применять к задачам числовой логистики. Однако эти две алгебры не тождественны, и, в частности, система скаляров не обладает ни свойствами поля, ни свойствами кольца.

Видовой логистике Виет придал требуемую общность, создав символику, в которой впервые появились знаки не только неизвестных, но и произвольных, т. е. переменных данных величин. В качестве знаков скаляров он принял прописные буквы алфавита: гласные для неизвестных и согласные для известных. Виет отмечал, что необходимы наглядные и всегда одинаковые символы, позволяющие отличать данные величины от неизвестных, например, тем, что «искомые величины будут обозначены буквой А или другой гласной E, I, O, U, Y, а данные – буквами B, C, D или другими согласными». Это нововведение и особенно применение буквенных коэффициентов положило начало коренному перелому в развитии алгебры: только теперь стало возможным алгебраическое исчисление как система формул, как оперативный алгоритм.

Само слово «коэффициент» восходит к Виету, который употреблял его, правда, в несколько специальном смысле в «Первых замечаниях к видовой логистике» (изданных в 1631 году), где вслед за «Введением» приводятся различные преобразования алгебраических формул. Рассматривая выражения вида