«Формулы Виета как один из способов решения кубических уравнений » (стр. 1 )

Муниципальное образовательное учреждение

«Лицей № 2 имени »

Направление: математика

«Формулы Виета

как один из способов решения кубических уравнений »

Автор: Ковалева Юлия,

г. Астрахань

Руководитель: ,

учитель математики МОУ «Лицей №2 имени »

Астрахань 2011

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы: Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики. Знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимым условием успешного решения разнообразных задач.

Многочисленные задачи из совсем иных, на первый взгляд, областей математики (исследование экстремальных свойств функций, тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения, системы уравнений и неравенств) зачастую сводятся к решению квадратных уравнений или исследованию квадратного трехчлена. И здесь неоценимую помощь может оказать теорема Виета, но иногда встречаются задания, в которых необходимо решить уравнение высших степеней, что в школьном курсе алгебры практически не рассматривается. Знакомство с данными решениями не только дополняет и углубляет, знания учащихся, но и развивает их интерес к предмету, любознательность и логическое мышление. В этом заключается актуальность темы исследования.

Гипотеза: Если с помощью теоремы Виета можно быстро находить корни квадратного уравнения, то можно ли применить теорему к уравнениям высших степеней?

Объект: Квадратный, кубический трехчлены; решения уравнения с помощью формул Виета.

Цель работы: найти наиболее простой и наглядный способ решения квадратного и кубического уравнения, выявить наиболее рациональные способы решения, красиво и сравнительно просто приводящие к ответу.

Методы исследования:

1) Работа с литературными источниками.

2) Эксперимент: применение формул Виета и сравнительный анализ для уравнений высших степеней.

Данная работа знакомит с уравнениями высших степеней и способами их решения. Предлагаемая работа рассчитана на учеников 9 – 11 классов, желающих повысить уровень математической подготовки, узнать больше о кубическом трехчлене и теореме Виета, а так же помочь учащимся не бояться громоздких и очень трудных с виду уравнений, помня пословицу: «Волков бояться, в лес не ходить!».

Глава I.

Многие задачи повышенной трудности, встречающиеся на государственной итоговой аттестации, могут быть успешно проанализированы и решены с помощью различных теорем и формул.

С кубическим трехчленом в школе мы встречаемся не так часто. И чтобы рассмотреть способы решения этого трехчлена я начала с исследования квадратного трехчлена.

История развития квадратных и кубических уравнений

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

Спустя примерно 350 лет после смерти аль-Хорезми результаты арабских алгебраистов изложил в своей «Книге абака» сын купца Боначчи из Пизы, известный в истории математики как Леонардо Пизанский, или Фибоначчи. Его сочинение во многом способствовало усилению интереса европейцев к алгебре и появлению других алгебраических работ. Европейская алгебра (как, впрочем, и арабская) вплоть до XV века не использовала символы, поэтому уравнения записывались в словесной форме. Например, запись уравнения: выглядела так: «census et radices aequantum numeris» («квадрат и корни равны числам»).

Символическая алгебра впервые появилась в «Сумме» (1494) Луки Пачоли. В своей «Сумме» Лука Пачоли рассматривал правила решения уравнений первой и второй степени, а также некоторых частных видов уравнений четвертой степени. В соответствии с традицией, идущей от аль-Хорезми, он указывал для квадратных уравнений два корня, но отрицательный опускал. Не рассматривались им также корни, равные нулю. Что касается уравнений третьей степени, то Пачоли отрицал возможность их решения. «Сумма» как бы подводила итог результатам, полученным в алгебре до XV века. На это сочинение опирались в своем творчестве выдающиеся итальянские алгебраисты XVI века – дель Ферро, Тарталья, Кардано.

Лука Пачоли.

Наибольших успехов математики Европы XV – XVI веков добились в области алгебры. Крупнейшим европейским алгебраистом XV века был итальянец Лука Пачоли.

Основным трудом Пачоли была «Сумма (знаний) по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности», изданная в Венеции в 1494 году.

В арифметической части «Суммы» излагались различные приемы арифметических действий, в том числе индийский прием умножения с помощью решетки, именуемый «gelosia».

Алгебру Пачоли называет «regula della cosa» − «правилом вещи» и «arte maggiore» − «великим искусством». Он пользуется алгебраическими символами (алгебраическими буквами «caralleri algebraieri»); квадратный корень обозначает R («radice» − «корень»), или ; кубический корень − , или ; корень четвертой степени − , или . Обозначение степеней неизвестной приведем в следующей таблице.

Современное обозначение	Обозначение Пачоли	Итальянский термин	Перевод
Свободный член		numero	число
х	co	cosa	вещь
	ce	censo	квадрат
	cu	cubo	куб
	ce. ce.	censo de censo	квадрат квадрата
	p0r0	primo relato	первое невыразимое
	ce. cu.	censo de cubo	квадрат куба
	20r0	secondo relato	второе невыразимое
	ce. ce. ce.	censo de censo de censo	квадрат квадрата квадрата
	cu. cu.	cubo de cubo	куб куба
	ce. p0r0	censo de primo relato	квадрат первого невыразимого
	30r0	tersi relato	третье невыразимое
. . .	. . .	. . .	. . .

Система названий степеней у Пачоли была мультипликативной:

Названия простых степеней, которые нельзя выразить в виде произведений чисел 2 и 3 , у Пачоли состоят из номера простой степени и слова «relato» («невыразимое»). Этот принцип выдержан не вполне последовательно: называя соответственно четвертым, пятым, шестым и седьмым невыразимыми, он называет не p0r0 de p0r0, а восьмым невыразимым, − девятым невыразимым.

Второе неизвестное (т. е. у ) Пачоли называл «quantita» («количество») и обозначал:

у − qp0 ; y2 − ce.de qp0 ;

и т. д. Сложение обозначалось знаком («plus», или «piu» − «больше», откуда наше слово «плюс»), вычитание – знаком («minus», или «meno» − «меньше», откуда наше слово «минус»). Пачоли употребляет выражения типа « меньше нуля» и формулирует правило знаков при умножении чисел, перед которыми стоят знаки и . На трактовку Пачоли отрицательных чисел, по-видимому, оказало влияние то, что он был изобретателем двойной бухгалтерии, в которой все денежные операции записываются в столбцах кредита (дохода) и дебета (долга). Теория бухгалтерии изложена Пачоли в той же «Сумме».