«Формулы Виета как один из способов решения кубических уравнений » (стр. 5 )

При умножении левой и правой частей на двучлен x + b получается уравнение:

.

Новые уравнения имеют в обоих случаях те же положительные корни, что и исходные уравнения.

В уравнении ,

которое может иметь два корня, Виет определяет коэффициенты так, чтобы корни имели данные значения. Если обозначить последние через у и z, то

, .

Аналогичное определение коэффициентов Виет предпринимает и для уравнений вида

,

где m + n − четное число, а m – нечетное число.

Важно то, что Виет распространил известные ранее частные преобразования на все алгебраические уравнения. Подстановку , которую Кардано применял для исключения из кубического уравнения члена второй степени, он применил к уравнениям любой степени. Известную Кардано обратную подстановку

Виет использовал, чтобы освободиться в некоторых случаях от отрицательных коэффициентов и иррациональностей.

Например, уравнение

Виет подстановкой преобразовывал к уравнению вида

.

Подстановкой Виет преобразовывал уравнение n-й степени так, что коэффициент при члене -й степени становился равным b, в то время, как старший коэффициент оставался равным единице.

Подстановку Виет применял, чтобы избавиться от дробных коэффициентов.

Формулы Виета

Особый интерес представляет исследование Виета по составлению уравнений из линейных множителей и по установлению связей между корнями уравнения и его коэффициентами.

Рассмотрим ход рассуждений Виета на следующих примерах.

Пусть х1 и х2 − корни приведенного квадратного уравнения

.

Перемножим двучлены и :

,

тогда, сравнение с исходным уравнением дает систему равенств:

Выполняя аналогичные действия для приведенного кубического уравнения

,

считая х1 , х2 и х3 корнями исходного кубического уравнения, получаем:

,

следовательно, имеет место система равенств

Такой результат для квадратного уравнения был известен Кардано (а в случае положительных корней – еще раньше). Кардано отметил свойство корней кубического уравнения относительно коэффициента при х2, но никакого обоснования в общем виде он дать не мог. Это сделал Виет для любого уравнения до пятой степени включительно.

Кардано в ту пору, когда еще не знал метода дель Ферро – Тартальи, решал некоторые уравнения третьей степени разложением на множители. Например, в уравнении

он прибавлял к обеим частям уравнения выражение , а затем преобразовывал исходное уравнение к виду ,

сокращал на двучлен (так как не учитывал отрицательные корни) и получал квадратное уравнение .

При нахождении положительного корня кубического уравнения

Кардано складывал его почленно с уравнением

,

и получал квадратное уравнение делением на двучлен . Такое преобразование позволило Кардано установить, что коэффициент при члене второй степени в правой части исходного кубического уравнения равен сумме его корней. Это был первый шаг к установлению зависимости между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения.

Виет составил полные уравнения с заданными положительными корнями вплоть до пятой степени и показал, как образуются коэффициенты при , , и т. д. (при этом коэффициент при старшей степени Виет считал равным 1 или (−1)). Он установил, что эти коэффициенты при условии, что свободный член в правой части должен был стоять со знаком «+», представляют собой взятые с чередующимися знаками суммы: самих корней, попарных произведений корней, произведений корней, взятых по три и т. д.

Работа, в которой Виет подробно рассмотрел это утверждение, до нас не дошла. Неизвестно, как он поступал в том случае, когда уравнение имело отрицательные корни. Скорее всего, это не представляло для Виета особых трудностей: достаточно было в исходном уравнении сделать замену

и можно оперировать с положительными корнями нового уравнения. Такие примеры в его работах встречались. Например, если уравнение

имеет два положительных корня х1 и х2 , то уравнение

имеет один положительный корень , причем .

Тогда

В исследованиях Виета встречались начала теории симметрических многочленов и разложения многочленов на линейные множители, что вскоре привело к открытию основной теоремы алгебры о числе корней уравнения произвольной натуральной степени.

Глава II

Задачи математиков связанных с кубическим уравнением

Задача Виета

Задача. Доказать, что если дано кубическое уравнение

,

то a, b, c – корни этого уравнения. Проверить на уравнениях:

1) ;

2) .

Решение. Пусть х = а , тогда

.

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем тождество:

abc = abc.

Аналогично производится проверка чисел b и с.

1) .

Легко видеть, что при х = 1. Следовательно, числа 1, 2, 3 являются корнями уравнения (1).

2) .

Легко видеть, что при х = 2. Следовательно, числа 2, −2, 4 являются корнями уравнения (2).

Задача Шлёмильха

Шлемильх Оскар (1832-1901)известный немецкий математик, имя которого связано с выражением остаточного члена ряда Тейлора; автор весьма полезного двухтомного курса по математике.

Задача. Решите кубическое уравнение

x3 + ax2 + bx + c = 0 ,

если его корни составляют:

а) арифметическую прогрессию;

б) геометрическую прогрессию.

Решение. Известно, что между корнями и коэффициентами кубического уравнения существует следующая зависимость (формулы Виета):

а) Если корни уравнения составляют арифметическую прогрессию, то имеем дополнительное условие:

х1 – х2 = х3 – х4 . (4)

Тогда из (1) и (4) следует: ;

из (1) и (3) : ; ,

откуда , .

Если подставить найденные корни в (2) , то получится условие, которому должны удовлетворять коэффициенты для того, чтобы кубическое уравнение имело корни, представляющие арифметическую прогрессию: .

Обратно, если имеется указанная связь между коэффициентами кубического уравнения, то его корни будут членами арифметической прогрессии.

б) Если корни уравнения составляют геометрическую прогрессию, то имеем дополнительное условие: х1 : х2 = х3 : х4 . (5)

Тогда из (5) и (3) следует: ; (6)