Основные формулы геометрии

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ГЕОМЕТРИИ

Тригонометрия

Определение тригонометрических функций

Тригонометрические функции острых углов можно определить как отношение сторон прямоугольного треугольника.

 

Синус:
Косинус:
Тангенс:
Котангенс:

Ниже представлено определение тригонометрических функций на тригонометрическом круге (круге радиуса R = 1).

Знаки тригонометрических функций в четырех квадрантах

sin α	cos α	tg α ctg α

Значения тригонометрических функций основных углов

α функция	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	(3/2)π	2π
sin α	0				1	0	- 1	0
cos α	1				0	- 1	0	1
tg α	0		1		-	0	-	0
ctg α			1		0	-	0	-

Геометрия (стереометрия)

Основные формулы и понятия плоских фигур

Фигура	Формула и понятие
Квадрат	P = 4a S = a2
Прямоугольник	P = 2 (a + b) S = a × b
Трапеция
Параллелограмм
Параллелограмм	S = a × h
Ромб
	Теорема Пифагора. Сторона, лежащая напротив угла в 30°, равна половине гипотенузы c2 = a2 + b2 a2 = c2 – b2
	BD – медиана AD = DC
	DM – биссектриса Ð 1 = Ð 2
	KP – высота KP ^ MH
	Теорема синусов. а) α + β + γ = 180° б) Теорема косинусов. a2 = b2 + c2 – 2bc × cosa
	где
а) n 3 4 6 R a r	б)	в)
	AB – диаметр окружности AO = CO = BO = R
r	S = pr2 l = 2pr

Теорема о трех перпендикулярах   AC ^ α; AB – наклонная BC – проекция наклонной AB на α

a) если C ^ P , то a ^ p б) если a ^ p , то C ^ P

Многогранники

Основные многогранники: призма, пирамида, усечена пирамида.

Призма – многогранник, у которого две грани есть многоугольники (основания), а остальные грани (боковые) – параллелограммы. Основания призмы конгруэнтны и расположены в параллельных плоскостях. Призма прямая, если боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Прямая призма правильная, если ее основанием служит правильный многоугольник.

Рис. 1. Прямая призма	Рис. 2. Наклонная призма

Призма треугольная, четырехугольная и т. д., смотря по тому, лежит ли в основании треугольник, четырехугольник и т. д. Высота призмы H - расстояние между основаниями.

Пирамида – многогранник, одной из граней которого служит многоугольник (основание), а остальные боковые грани – треугольники с общей вершиной.

Высота пирамиды H – длина перпендикуляра, опущенного из вершины на основание.

Пирамида правильная, если в ее основании лежит правильный многоугольник и высота H проходит через центр основания. Боковые грани правильной пирамиды – равнобедренные равные между собой треугольники, высота боковой грани h – апофема правильной пирамиды. Рассекая пирамиду плоскостью, параллельной основанию, получим усеченную пирамиду.

Рис. 3а. Пирамида	Рис. 3б. Правильная пирамида	Рис. 4. Усеченная пирамида

Основания усеченной пирамиды (верхнее и нижнее) – подобные многоугольники, расстояние H межу ними – высота.

Обозначения: H – высота, L – боковое ребро, V – объем многогранника,

Sо – площадь основания, Sб – боковая поверхность, Sп – полная поверхность,

P = Pо – периметр основания, h – апофема правильной пирамиды (усеченной пирамиды).

Таблица 1

Объемы и площади поверхностей многогранников

Многогранник	Объем	Боковая поверхность	Полная поверхность
Призма	V = Sо × H	Sо = L × P P – периметр перпендикулярного сечения	Sп = Sб + 2 Sо
Прямая призма	V = Sо × H	Sб = Pо × H	Sп = Sб + 2 Sо
Пирамида		Sб = сумма площадей боковых граней	Sп = Sб + Sо
Правильная пирамида		Sб = ½ Pо × H	Sп = Sб + Sо
Усеченная пирамида	S1, S2 – пощади оснований	Sб = ½ (P1 + P2) × h P1, P2 – периметры оснований	Sп = S1 + S2 + Sб

Круглые тела

При вращении различных плоских фигур вокруг некоторой оси получаются так называемые круглые тела. Основные среди них: цилиндр, конус, усеченный конус, шар и шаровые части – пояс, сектор, сегмент. В этом разделе будем пользоваться наиболее употребительными обозначениями: H – высота, L – образующая, V – объем, Sо – площадь основания, Sб – боковая поверхность, Sп – полная поверхность, R, r – радиусы.

Таблица 2

Площади поверхностей и объемы основных круглых тел

Вращающаяся фигура	Тело	Sб	Sп = Sб + Sо	V
1. Прямоугольник	Цилиндр	2pRH	2pRH + 2pR2 = = 2pR(H + R)	pR2H
2. Прямоугольный треугольник	Конус	pRL	pRL + pR2 = = pR (L + R)
3. Полукруг	Шар		4πR2

Составитель: ,

учитель математики МБОУ «О(СО)Ш», г. Ангарск 2015г.