Олимпиадные задания с решениями (стр. 2 )

16.  2–3.Представьте числовое выражение 2∙20132 + 2∙20142 в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. (40272+12.Достаточно заметить, что 2∙20132 + 2∙20142 = (2013+2014)2+(2014–2013)2.)

17.  2–4.Найдите все тройки простых чисел вида n-2000, n, n+14.(3, 2003, 2017. У данных трёх простых чисел разные остатки при делении на 3, поэтому ровно одно из них делится на 3, а значит, является 3, это меньшее из них n-2000. Тогда n=2003.)

18.  2–5. Найдите наибольшее значение выражения х + у, если (2sinx – 1)(2cosy – ) = 0, xÎ[0; ], yÎ[p; 2p]. (. Заметим, что (2sinx – 1)(2cosy – ) = 0 Û. Решением уравнения на промежутке [0; ] являются числа и , а решением уравнения на промежутке [p; 2p] – число . Знак совокупности означает, что если выполняется первое равенство, то y – любое число из указанного для него промежутка, а если выполняется второе равенство, то x – любое число из указанного для него промежутка. Таким образом, достаточно выбрать наибольшие значения из данных промежутков и сравнить два значения суммы х + у: <.)

19.  2–6.Решите неравенство sinx£tgx£ctgx£cosx. (Нет решений. Из условия следует, что -1£tgx£ctgx£1. ctgx=1/tgx, поэтому либо |tgx|, либо |ctgx| не меньше 1. Поэтому если неравенство выполнено, то либо tgx=ctgx=1, либо tgx=ctgx= -1. Но в обоих этих случаях |sinx| = |cosx| =, и неравенство из условия не выполняется. Значит, у него нет решений.)

20.  3–3.Сколько существует различных треугольников с целочисленными сторонами, в которых одна из биссектрис делит противоположную сторону на отрезки длиной 2014 и 2013?(4025. Пусть биссектриса СK треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки АK=2014 и KВ=2013; BС=a, АС=b. По свойству биссектрисы, a/2013=b/2014 Û 2014a=2013b, тогда в силу целочисленности сторон и взаимной простоты чисел 2014 и 2013 получаем, что bM2014. По неравенству треугольника a+4027=2013b/2014+4027>bиa+b=2013b/2014+b=4027b/2014>4027=АВ, откуда 4027∙2014>b>2014. Из вышесказанного получаем, что b=2014k, где k – натуральное, 2£k£4026, и, соответственно, a=2013k. Несложно проверить, что все такие треугольники подходят, и они различны.)

21.  3–4.Решите уравнение x3+x2+x+1/3=0. (.Преобразуем данное уравнение к виду x3+3x2+3x+1=-2x3. Теперь видно, что в левой части написана формула для куба суммы x+1. Получаем: (x+1)3=-2x3, откуда x+1=x, откуда, .)

22.  3–5.При каких k в клетках таблицы 12´12 можно расставить целые числа таким образом, что сумма чисел во всей таблице положи­тельна, а сумма чисел в любом квадрате k´kотрицательна? (k = 5, 7, 8, 9, 10, 11. Данный квадрат не должен разрезаться на квадраты со стороной k. Общий пример для k³ 7: в 4 центральных клетках – по –30, в остальных – по 1. Пример для k = 5: разобьём исходный квадрат на 9 квадратов 4´4; в углах центрального квадрата поставим по –30, в остальных 140 клетках – по –1.)

23.  3–6.В турнире по настольному теннису участвовало 75 теннисистов. Каждый сыграл с каждым ровно один раз, ничьих в теннисе не бывает. По итогам турнира нашлось по крайней мере 25 теннисистов, каждый из которых имеет не более n поражений. Найдите наименьшее возможное значение n. (12. Между собой 25 теннисистов сыграли 25×24/2=25×12 игр, и в каждой кто-то терпел поражение. Значит, кто-то из 25-ти потерпел в этих играх не меньше 12 поражений. Подойдёт следующий пример: выстроим 25 теннисистов по кругу и положим, что каждый выиграл у 12 следующих за ним по часовой стрелке, а у остальных 50-ти теннисистов каждый из этих 25-то выиграл все игры.)

24.  4–4.Найдите радиус окружности, описанной около равнобочной трапеции с основаниями 2 и 14 и боковой стороной 10. (. Окружность, описанная около трапеции, является и окружностью, описанной около любого треугольника, вершины которого совпадают с вершинами трапеции. А радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами a, b, c и площадью S, найдём по формуле R = abc/4S.)

25.  4–5. Последовательность {an} задана условиями: для любого натурального n. Найдите a2014. (. Пусть a1=x, a2=y – положительные числа. Тогда , при этом в знаменателях всегда положительные числа. Получаем, что последовательность периодична с периодом 5 и тогда .)

26.  4-6. В треугольнике ABC с тупым углом Bпроведены биссектриса угла BAC и биссектриса внешнего угла при вершине A. Точка O- центр описанной окружности треугольника ABC. Расстояния от O до обеих биссектрис, а также до прямойBC равны 3. Найдите ÐABC. (112,5°. Анализируя чертёж, в силу перпендикулярности биссектрис смежных углов, нетрудно показать, что радиус описанной окружности , т. к АО будет диагональю квадрата, где две другие вершины – проекции точкиО на данные в условии биссектрисы. Тогда DОВС окажется равнобедренным прямоугольным, т. к. расстояние отО до прямой ВС будет равно 3, а . Значит, ÐАОС=ÐАОВ+ÐВОС=45°+90°=135°, большая дуга АС описанной окружности равна 360°-135°=225°, а вписанный угол АВС будет равен половине этой дуги, т. е. 112,5°.)

27.  5–5. Решите уравнение {x}=1/x, где {a} – это дробная часть числа a, т. е. {a} = a–[a], где [a] – целая часть, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее a.(. Т. к. {a} = a–[a], то 0≤{a}<1, поэтому 1/x может принимать значения только от 0 до 1, не включая 1, и, следовательно, x>1. Обозначим [x] за n, , а {x} за α. Получим уравнение α = 1/(n+α), т. е. α(n+α) = 1. Рассмотрев это уравнение как квадратное относительно α, получим, что . Так как α≥0, то меньший корень нам не подходит. Проверим, что больший нам подходит. С помощью формулы разности квадратов получаем, что , и это означает, что найденный нами второй корень подходит под условия.)