Олимпиадные задания с решениями (стр. 4 )

9.Все вершины выпуклого девятиугольника на плоскости имеют целочисленные координаты. У какого наименьшего количества середин диагоналей обе координаты также могут быть целочисленными? (1. Середина диагонали будет иметь целочисленные координаты только тогда, когда координаты концов будут иметь одну чётность. Всего таких наборов четыре – (неч, неч), (неч, чёт), (чёт, неч), (чёт, чёт). Тогда по принципу Дирихле найдутся три вершины с одинаковым по чётности набором координат, а среди этих вершин хотя бы две не будут соседними, значит, отрезок между ними окажется диагональю. В качестве примера подобного девятиугольника подойдёт многоугольник, у которого по контуру идут сначала по 2 вершины подряд трёх видов наборов координат, а затем три вершины с четвёртым набором координат.)

10.Найдите все пары квадратных трехчленов ax2+bx+c и bx2+cx+a, каждый из которых имеет ровно один действительный корень.(ax2+4ax+4a и 4ax2+4ax+a, где a- любое действительное ненулевое число. Если каждый трехчлен имеет один действительный корень, то их дискриминанты равны нулю. Значит, нам необходимо решить систему уравнений при условии, что старшие коэффициенты трехчленов не равны 0 (т. е. a¹0 и b¹0), но тогда из второго уравнение получаем, что и с¹0. Разделим первое уравнение на второе, что можно делать при ненулевых числах, тогда получим равенство , откуда b3=c3, т. е. b=c. Подставив это условие, получим, что b=c=4a. Тогда наши уравнения примут вид ax2+4ax+4a и 4ax2+4ax+a, у которых по одному корню (-2) и (-0,5) соответственно.)

11. В параллелограмме ABCD точка K – середина стороны BC, M – середина стороны CD. АК=6, AM=3, ÐKAM=60°. Найдите AD. (4.Продолжим AM до пересечения с BC в точкеЕ (см. рис.). Тогда ÐECM=ÐADM как накрест лежащие, ÐCME=ÐDMA как вертикальные. Треугольники AMD и EMC равны по второму признаку. ОтсюдаAM=ME, иAE=6. AD=CE=BC, KC=½BC, поэтомуKE=3/2×AD. В треугольнике KAEÐKAE=60°, AK=KE=6. Отсюда KE=6. AD=2/3×KE=4.)

12. Каждый из пассажиров автобуса получил билет с шестизначным номером, причём все номера билетов - последовательные числа. Какое наибольшее количество пассажиров могло ехать в автобусе, если ровно у 1/12 из них в номере билета есть цифра 7? (48 пассажиров. Пусть k- число пассажиров, у которых в билете есть цифра 7. Тогда число всех пассажиров равно 12 k. Заметим, что среди любых десяти подряд идущих номеров есть один, содержащий семерку на конце. Значит, 12k<10(k+1), откуда 2k<10, k<5. При k=4 искомый набор номеров существует, например 100 008, 100 009, 100 010, ..., 100 055.)

13. На краю шахматной доски стоят 28 ферзей. За какое наименьшее количество ходов их можно переставить так, чтобы они по-прежнему стояли с краю доски, но никакой ферзь не остался на своей прежней клетке? (29 ходов. Каждый ферзь должен сходить, значит, надо не менее 28 ходов, но первый сдвинувшийся ферзь первым ходом ещё не сможет попасть на край, следовательно, надо не менее 29 ходов. Пример на 29 ходов - сначала сдвинем ферзя a1-b2, после этого всех ферзей, начиная с b1, сдвигаем вдоль края на одну клетку по часовой стрелке, а в конце сдвинем первого ферзя b2-a2.)

14.На каждой грани правильного тетраэдра с ребром 1 во внешнюю сторону построены правильные тетраэдры. Четыре их вершины, не принадлежащие исходному тетраэдру, образовали новый тетраэдр. Найдите длину его ребра. (Каждое ребро равно . Пусть DABC – данный тетраэдр, О – ортогональная проекция вершины D на плоскость АВС, тогдаО – центр треугольника АВС (см. рис.). Первый способ. Рассмотрим РАВС и QBCD – два тетраэдра, построенные на гранях исходного тетраэдра Тогда PQ – ребро нового тетраэдра. Рассмотрим треугольник PKQ, где K – середина ребра ВС. Так как PK и QK – апофемы равных правильных тетраэдров, то PK = QK = . DKO – угол между гранями правильного тетраэдра, поэтому . Тогда. ÐPKQ = 3ÐDKO = 3arccos = arccos(–) (если , то = –). Из треугольника PKQ по теореме косинусов: . Следовательно, = . Остальные ребра искомого тетраэдра вычисляются точно так же, поэтому имеют ту же длину. Второй способ. Пусть М – точка пересечения медиан (центроид) исходного тетраэдра DABC, тогда М лежит на медиане DO тетраэдра и DM :MO = 3 : 1. Тетраэдр РАВС симметричен исходному относительно плоскости АВС, поэтомуО – середина отрезка DP. Следовательно, точка М лежит на отрезке DPи DM :MP = 3 : 5. Проведя аналогичные рассуждения для других построенных тетраэдров, получим, что вершины нового тетраэдра являются образами вершин исходного при гомотетии с центром М и коэффициентом . Значит, новый тетраэдр – правильный, а длина его ребра равна .)

15. За круглым столом сидят 30 человек - рыцари и лжецы (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Известно, что у каждого из них ровно один друг, причем у рыцаря этот друг - лжец, а у лжеца этот друг - рыцарь (дружба всегда взаимна). На вопрос «Сидит ли рядом с вами ваш друг?» сидевшие через одного ответили «да». Сколько из остальных могли также ответить «да»? (0. Из условия следует, что все сидящие за столом разбиваются на пары друзей; значит, рыцарей и лжецов поровну. Рассмотрим любую пару друзей. Если они сидят рядом, то рыцарь на заданный вопрос ответит «да», а лжец «нет». Если же они не сидят рядом, то их ответы будут противоположными. В любом случае ровно один из пары друзей даст ответ «да». Значит, при любой рассадке все остальные 15 ответов будут «нет».)

3	4	7
2	1	6
9	8	5

16. В клетки таблицы 3´3 расставляются по одному все целые числа от 1 до 9. Каково наибольшее количество сумм в парах чисел в соседних (по стороне) клетках, которые могут равняться простым числам? Приведите ответ и пример таблицы. (11 сумм, например, при расстановке, как на рисунке, - во всех парах, кроме (1, 8). Все 12 пар дать простые суммы не могут, т. к. это были бы только нечётные числа, являющиеся суммами пар чётных и нечётных чисел. Это возможно только при расстановке 5 нечётных и 4 чётных чисел в шахматном порядке, тогда в центре стояло бы нечётное число, которое соседствовало бы с 2, 4, 6, 8. Но четырёх подряд идущих нечётных простых чисел не бывает, т. к. среди них было бы число, кратное 3. В случае самого числа 3=2+1 у нас будет число 8+1=9 – составное.)

XV Республиканский турнир памяти и

по математике для старшеклассников

Игра «Пенальти».Решения.8 ноября 2014 года

1. Найдите наименьшее делящееся на 11 натуральное число с суммой цифр 2014.(8899...99 (222 девятки). Т. к. 2014=9×223+7, то в числе должно быть не менее 224 цифр. Если число минимальное, то в нём либо одна 7, либо две 8, а остальные цифры - единицы. Т. к. по признаку делимости на 11 знакочередующаяся сумма цифр должна делиться на 11, то это возможно только в случае двух 8, при этом они должны стоять на местах разной чётности по номеру. Для минимальности эти две восьмёрки должны стоять в начале числа.)