Олимпиадные задания с решениями (стр. 5 )

2. Дан белый квадрат 8´8. За один ход можно перекрасить в чёрный цвет все клетки некоторого квадрата 2´2,в котором есть хотя бы одна белая клетка. Какое максимальное количество ходов можно сделать? (49 ходов. Заметим, что всего возможно 49 способов размещения на доске квадрата 2´2, т. к. каждый квадрат определяется положением своего центрального узла, который может находиться на месте 7×7=49 внутренних узлов доски. При этом каждый из этих 49 квадратов может быть взят нами для покраски своих клеток не более одного раза, значит, всего будет не более 49 ходов. Пример на 49 ходов - начнём с левого верхнего квадрата 2´2 и будет сдвигать его на клетку слева направо, затем переходя на один ряд вниз и опять начиная каждый раз слева. Таким образом, мы возьмём каждый из 49 возможных квадратов, закрашивая в первом квадрате 4 клетки, а затем по 2 или 1 новой клетке.)

3. В куб со стороной a вписан шар. Найдите радиус меньшего шара, касающегося трёх граней куба и первого шара. (. Диагональ куба равна и пусть одна из таких диагоналей АВ пересекает первый шар в точках Р и Q (P ближе к A, чем к B), при этом и . Тогда шары гомотетичны относительно своей точки касания точки P с коэффициентом и отношение радиуса маленького шара к радиусу большого шара равно |k|.)

4. Найдите все натуральные числа, десятичная запись которых оканчивается на два нуля, и которые также имеют ровно 12 натуральных делителей. (200 и 500. Т. к. запись числа оканчивается на два нуля, оно делится на 100, то есть имеет вид п×100=п×22×52. Докажем, что если у числа ровно 12 делителей, то пможет быть равно только 2 или 5. Наименьшее из чисел вида п×22×52- число 100 (случай п=1) имеет 9 делителей. Их можно найти непосредственно, но можно и так: все делители числа 100 имеют вид 2k×5m, где kи т могут быть равны 0, 1 или 2. Следовательно, число делителей равно 3×3=9. Если пне делится ни на 2 ни на 5, то у числа п×100 будет не менее 18 делителей: 9 делителей числа 100 и 9 делителей, получающихся из делителей числа 100 умножением наn. Если п=2 или п=5, то делителей, как легко проверить, будет ровно 12. Если же пделится на 2 или 5 в степени выше первой, то n делится на 200 или 500, и при этом больше 200 или 500 соответственно, поэтому делителей у него больше 12.)

5. Вокруг цилиндрической колонны высотой 20 метров и диаметра 3 метра обвита лента, которая поднимается от подножия до вершины семью полными витками. Какова длина ленты? ( метров. Разрезав цилиндр вдоль образующей его боковой поверхности, проходящей через начало ленты, и развернув эту поверхность на плоскость, получим прямоугольник ABCD размером (см. рис.). “Приклеив” к нему еще шесть таких же прямоугольников, получим прямоугольник ABQR. На этой развертке первый виток ленты предстанет в виде отрезка АР, а вся лента развернется в диагональ AQ прямоугольника ABQR. Значит, её длина: метров.)

6. Найдите все натуральные n такие, что - иррациональное число. (Все натуральные n³2. Решение. При n=1 имеем - рациональное число, а при n=2 имеем - иррациональное число. Предположим, что существует n³3 такое, что - рациональное число. Поскольку то рациональными будут также числа: , …, , . Но последнее число – иррационально. Таким образом, получаем противоречие, значит, не существуетn³3 таких, что - рациональное число.)

7. На доске написаны все целые числа от 1 до 20. Разрешается, выбрав любые два числа, стереть их, а вместо них записать на доску их разность (из большего вычитается меньшее). При этом на доске не должны появляться равные числа. Так поступают до тех пор, пока на доске не останется одно число. Какое наименьшее число может остаться на доске? (2. Операция а, b → b-а сохраняет чётность суммы чисел, записанных на доске. Вначале она была чётна, поэтому в конце может остаться число, не меньшее 2. Покажем, как получить 2:1, 2→ 1; 18, 20→ 2; 1, 2 → 1; 17, 19→ 2; ...; 6, 8 → 2; 1,2 →1; 5, 7 → 2 (остались числа 1, 2, 3, 4); 1, 2 → 1; 1, 3 → 2; 2, 4 → 2.)

8		20		35		34		14
7	5		15		20		14
6		5		10		10		4
5	1		4		6		4
4		1		3		3		1
3			1		2		1
2				1		1
1					0
	a	b	c	d	e	f	g	h

8.На поле e1 шахматной доски стоит шашка. Сколько существует различных маршрутов, по которым она сможет пройти в дамки? Каждым своим ходом шашка сдвигается на одну клетку вверх по диагонали либо вправо, либо влево.(103. Так как шашка ходит по диагонали, то она всё время остается на клетках одного цвета (в данном случае чёрного). Пусть некоторая черная клетка x находится не на первой горизонтали. Если при этом она находится на крайней вертикали, то пойти на эту клетку можно только с одной клетки y, поэтому маршрутов от клетки e1 до клетки x существует столько же, сколько от e1 до клетки y. Если клетка x находится не на крайней вертикали, то пойти на нее можно из двух клеток, причем если к этим клеткам от e1 приводило m и n маршрутов, то к клетке x от e1 ведет m+ n маршрутов. Двигаясь последовательно от второй до восьмой горизонтали, поставим в каждую из клеток, в которые может попасть шашка, число, равное количеству приводящих в неё маршрутов. Таким образом, количество маршрутов, приводящих к клеткам восьмой горизонтали: 20+35+34+14=103.)

9.Сколько среди первых миллиона натуральных чисел тех, которые не являются ни полным квадратом, ни полным кубом? (998910. Среди миллиона первых натуральных чисел 1000 полных квадратов (квадраты чисел от 1 до 1000) и 100 полных кубов (квадраты чисел от 1 до 100), но из них 10 являются также полными квадратами (это кубы чисел, являющихся полными квадратами чисел от 1 до 10), поэтому 10 посчитаны дважды. Таким образом, всего 1000000−(1000+100−10)=998910 нужных нам чисел.)

10. В клуб пришли 19 джентльменов: некоторые – в шляпах, некоторые – без. Затем время от времени один из джентльменов снимал с себя шляпу и надевал на голову другому джентльмену, у которого в этот момент шляпы не было. 9 джентльменов через час заявили: "Я отдавал шляпу чаще, чем получал!" Сколько джентльменов могло прийти в клуб в шляпах? (9 или 10 джентльменов.Отдавать шляпу чаще, чем получать, мог только тот, кто пришёл в шляпе, а заявление своё делал, не имея шляпы. Значит, в шляпах пришло не меньше 9 джентльменов, а шляп не больше, чем 19–9=10. Отсюда ясно, что в шляпах пришли либо 9, либо 10 джентльменов. Причём оба случая возможны, например, 9 джентльменов разбились на пары (со шляпой и без шляпы) и передавали её друг другу, а последний джентльмен мог быть и в шляпе, и без шляпы, никому ничего не передавая.)

11.Решите неравенство: [x]×{x} <x – 1. ([x] – целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, непревосходящееx, {x}= x – [x] – дробная часть числа x.) ([2;+¥). Обозначим: [x] = a, {x} = b, тогда x = a + b. Данное неравенство примет вид: ab<a + b – 1 Ûab – a – b + 1 < 0 Û (a – 1)(b – 1) < 0. Т. к. для любых значений x выполняется неравенство 0 £ {x} < 1, то 0£b< 1. Тогдаа> 1, то есть [x] > 1. Следовательно, x³ 2.)