Олимпиадные задания с решениями (стр. 1 )

Олимпиадные задания с решениями

XV Республиканский турнир памяти и

по математике для старшеклассников

Игра «Домино».Решения.7 ноября 2014 года.

1.  0–0.Натуральное число n равно сумме двух натуральных делителей числа n+6. Найдите наибольшее такое n.(30. Ни один из этих делителей не может равняться n+6, и не может быть, чтобы они оба равнялись (n+6)/2. Поэтому их сумма не превосходит (n+6)/2+(n+6)/3 = 5(n+6)/6. Решая неравенство 5(n+6)/6³n, получаем n≤30. n=30 подходит: 30=18+12.)

2.  0–1.Слева к двузначному числу дописали это же число, но в обратном порядке. С помощью делимости на какое простое число мы сможем доказать, что получившееся четырёхзначное число – составное. (11. Пусть - данное число, тогда - число, которое получилось после приписывания., следовательно, число составное.)

3.  0–2.Найдите все такие простые числа р, что 2р + 1 – куб натурального числа. (p = 13. Пусть 2р+1=n3. Тогда (n–1)(n2+n+1)=2p. Число n, очевидно, нечётно, поэтому n–1 делится на 2. Число n2+n+1 больше 1, поэтому n–1=2, n2+n+1=p.)

4.  0–3.Известно, что tga + tgb = p, ctga + ctgb = q. Найдите tg(a+b). (. Из условия и равенства , получим, что . Используя формулу получим, что .)

5.  0–4.На каждом из рёбер единичного куба и на одной из главных диагоналей (длины ) выбраны направления. Какую наименьшую длину может иметь сумма полученных 13 векторов? (. Выберем базис из трёх векторов, идущих по ребрам куба, так, чтобы вектор диагонали равнялся . Тогда четыре вектора будут равны , ещё четыре — , ещё четыре — . Таким образом, сумма S векторов имеет вид , где k, m, n — целые нечётные числа, а , т. к. k2³1, m2³1, n2³1 в силу их нечётности. Разбив пары параллельных рёбер куба на противоположно направленные векторы, мы получим, что k=m=n=1 и длина суммарного вектора будет равна .)

6.  0–5.В окружность радиуса 1 вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма основания и высоты, проведённой к нему, равна диаметру. Найдите длину этой высоты. (2/5=0,4. Пусть основание треугольника равно a, тогда высота h = 2–a. При этом диаметр, на котором лежит высота, делит основание пополам. Воспользуемся свойством пересекающихся хорд, получим, что (а/2)2 = h×(2–h) = (2–a)×a. Отсюда, a = 8/5. Следовательно, h = 2/5.)

7.  0–6. Приведите пример точного квадрата, в десятичной записи которого миллион цифр, а количество чётных и нечётных цифр будет одинаковым. Ответ обосновать. (Рассмотрим, например, число N=99…9 (полмиллиона девяток).Тогда N2 = 9…9∙(10..0–1) = 9…90…0 – 9…9 = 9…980…01 – здесь девяток и нулей поровну, а всего миллион цифр.)

8.  1–1.Нарисуйте график функции . (Заметим, что x=5 – один из корней числителя. Разделив числитель на (x–5), получим x2–2, то есть x3–5x2–2x+10 = (x–5)(x2–2). Сократим дробь, не забыв об области определения x ≠ 5. Получаем рисунок – парабола y=x2–2 с выколотой точкой (5;23).)

9.  1–2. Натуральное число N не делится на 13 и 15, но при делении на них с остатком даёт одинаковые неполные частные. Найдите наибольшее возможное N. (

10.  77. Пустьа = 13d + b = 15d + c, где d – неполное частное. Тогда 2d = b – c£ 12, d£ 6. Наибольшееа=13d+b=90 получим при наибольших возможных d=6, b=12, но в этом случае с=0 и а=90 делится на 15. Следующее по величине возможноеа=13d+b=77 получим при d=5, b=12, с=2.)

11.  1–3.Найдите значение выражения . (2014.Пусть 2013 = а, тогда = = = = = = . Таким образом, значение данного выражения равно 2014.)

12.  1–4. Дан треугольник ABC, в которомÐА=ÐВ=a. На сторонах BC, CA, AB отмечены точки A1, B1 и C1 соответственно. Оказалось, что С1B1перпендикулярнаAC, B1A1 перпендикулярна BC и B1A1 = B1C1. Найдите ÐA1C1B. (90°. A= B=α, тогда C=180°–2α. Треугольник CA1B1 прямоугольный, значит, CB1A1= 90°–(180°–2a)=2a–90°. Тогда A1B1C1=90°–(2a–90°)=180°–2a. Т. к. B1A1 = B1C1, то B1C1A1= B1A1C1=α. Значит, AC1A1= AC1B1+ B1C1A1=(90°–α)+α=90°, т. е. отрезок A1C1 перпендикулярен AB.)

13.  1–5. Приведите пример натурального числа, при вычёркивании нескольких цифр из которого как наименьшее девятизначное число получается 123456789, а как наибольшее – 987654321. (Такого числа не существует, т. к. оно должно одновременно заканчиваться и на 1 (иначе найдётся большее девятизначное, чем 987654321), и на 9 (иначе найдётся меньшее, чем 123456789).)

14.  1–6.Решите в целых числах уравнение 3x2 + 10xy + 9y2 = 19. ((±1, ), (±5, ). 3x2+10xy+9y2= 2(x2+4xy+4y2)+(x2+2xy+y2)=2(x+2y)2+(x+y)2, но число 19 можно представить в таком виде единственным образом 22=2×9+1, что проверяется перебором малых значений квадратов (0, 1, 4, 9, 16). Тогда x+2y=±3, x+y=±1. Решив все 4 системы, найдём ответы.)

15.  2–2.Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Известно, что Р(0) = 2014, Р(2014) = 0, P(k) = k, где k – целое. Найдите k. (1007. Воспользуемся следующим фактом: если P(x) – многочлен с целыми коэффициентами, то для любых различных целых чисел а и b число P(a) – P(b) делится наа – b. Тогда из условия задачи следует, что P(k) – Р(0) = k – 2014 делится на k, а также P(k) – Р(2014) = k делится на k – 2014. Оба условия выполняются одновременно тогда и только тогда, когда |k–2014| = |k|. Решением полученного уравнения является середина отрезка [0; 2014], т. е. k=1007.)