Олимпиадные задания с решениями (стр. 6 )

12.Сумма восьми чисел равна . Оказалось, что сумма любых семи чисел из этих восьми – положительна. Какое наименьшее целое значение может принимать наименьшее из данных чисел? (–7. По условию: . Пусть . Тогда > 0, кроме того, > 0, поэтому <. Следовательно, = 8. Значит, –8. Приведем пример, показывающий, что = –7 удовлетворяет условию задачи. Пусть . Тогда –7 + = = . При этом, –7 + = – 7 > 0, то есть сумма любых семи чисел положительна.)

13. В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E и F являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE, AF и EF делят четырехугольник на 4 треугольника, площади которых равны четырём последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD? (6. Пусть площади треугольников равны n, n+1, n+2, n+3. Тогда площадь четырехугольника ABCD составляет 4n+6. Нетрудно видеть, что площадь треугольника BCD в четыре раза больше площади треугольника ECF, поэтому эта площадь не меньше 4n. Значит, SABD=SABCD−SBCD£(4n+6)−4n=6. Осталось доказать, что значение 6 является возможным. Примером служит равнобедренная трапеция с основаниями AD=6, BC=4 и высотой 2 (числа на рис. обозначают площади треугольников).)

14. Найдите наименьшее положительное значение x + y, если (1 + tgx)(1 + tgy) = 2. (. Преобразуем данное равенство: (1 + tgx)(1 + tgy) = 2 Û 1 + tgx + tgy + tgxtgy = 2 Ûtgx + tgy = 1 – tgxtgy. 1) Пусть 1 – tgxtgy¹ 0, тогда полученное равенство можно записать так: ÛÛ, . В этом случае, наименьшее положительное значение x + y равно . 2) Пусть 1 – tgxtgy = 0, тогда полученное равенство примет вид . Но система уравнений равносильна системе , которая не имеет решений. Т. е., в этом случае значений xиy, удовлетворяющих данному равенству, не существует.)

15.Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что ÐMAC=ÐMCD=a. Найдите величину угла ABM. (90°-2a. Если точка M лежит внутри треугольника ABC, то ÐMAC< 45o<ÐMCD. Легко также проверить, что на сторонах треугольников ABC и ACD точка M лежать не может, поэтому она лежит внутри треугольника ACD. При этом ÐAMC = 180°-ÐMAC-(45°-ÐMCD)=135°. Это означает, что точка M лежит на дуге окружности радиуса AB с центром B. Поэтому по теореме о вписанном угле ÐABM = 2ÐACM = 90°-2a.)

16. Какое наименьшее количество клеток можно закрасить на доске 8´8 так, чтобы все узлы клетчатой решётки оказались закрашенными? Приведите ответ и пример. (25 клеток, см. рисунок.Раскрасим узлы в четыре цвета – см. рисунок, получим, что каждая закрашенная клетка содержит ровно 1 узелок каждого цвета, но первого цвета будет 25 узелков, значит, надо не менее 25 закрашенных клеток.)

17. Для каких натуральных n найдутся натуральные числа a и b такие, что сумма цифр каждого из чисел a, b, a+b равна n?(Для всех n, делящихся на 9, и только для них.Пример. — сумма цифр равна 9k. Пусть число n даёт при делении на 9 ненулевой остаток l. Тогда если суммы цифр чисел a и b равны n, то сумма цифр числа a+b дает при делении на 9 остаток 2l, не равный l.)

18. В стране есть 18 городов, каждый из которых соединён дорогами максимум с 3 другими городами. Транспортная кампания хочет организовать круговые автобусные маршруты, содержащие по 4 города. Какое наибольшее количество таких маршрутов могло оказаться? (27 маршрутов. Переформулируем задачу на языке графов: вершины - города, рёбра - дороги. Тогда наша задача может быть переформулирована следующим образом: «В графе на 18 вершинах степень каждой вершины не более 3. Какое наибольшее количество циклов длины 4 может быть в этом графе?» Решение. Заметим, что через каждое ребро графа проходит не больше четырёх искомых циклов. В самом деле, каждый из двух концов любого данного ребра принадлежит, кроме данного, максимум двум другим рёбрам, то есть включить данное ребро как среднее в маршрут из трёх рёбер можно, самое большее, 2×2=4 способами, а маршрут из трёх рёбер входит, самое большее, в один цикл длины 4. Поскольку всего рёбер в нашем графе не более 3×18/2=27, циклов длины 4 в нём не более 27×4/4=27. Пример, когда маршрутов ровно 27, строится так: вершины разбиваются на три группы по 6, в каждой группе три вершины красятся в красный цвет, а три - в синий, и каждая красная вершина соединяется со всеми синими из той же группы. В каждой шестёрке ровно 3×3=9 циклов длины 4, потому что две красные вершины цикла можно выбрать тремя способами, и две синие - тоже тремя, независимо от красных.)

19.AL и BM – биссектрисы треугольника ABC. Окружности, описанные около треугольников ALC и BMC, вторично пересекаются в точке K, лежащей на стороне AB.Какие значения может принимать величина угла ACB? (60°. Обозначим ÐA=2α. Тогда ÐKAL=ÐCAL=α, и ÐKCL=ÐKAL=α как опирающиеся на одну дугу KL. Аналогично получаем, что если ÐB=2β, то ÐKCM=ÐMBC=β как опирающиеся на равные дуги МК и MCвторой окружности. ТогдаÐС=α+β, и по сумме углов треугольника ÐA+ÐB+ÐC=3α+3β=180°, ÐC=α+β=60°.)

20. Найти наименьшее значение произведения xy, где x и y удовлетворяют системе . (-0,9). Выразим уиз первого уравнения и подставим во второе уравнение. Уравнение имеет решение, если . Теорема Виета приводит к соотношению: . Вершина получившейся параболы – точка (0,4;-1,8), значит, наименьшее значение xy равно -0.9.)