Отношение перпендикуляра и наклонной.

1. Прямая p, точка А не лежит на прямой p. Заполните пропуски.

АС-……………………………., проведенный из точки А к прямой p.

C-………………………………………………….(проекция точки А на прямую p).

На прямой p выберем точку В, отличную от точки С, соединим А с В отрезком АВ.

Отрезок АВ называется ………………………………….., проведенной из точки А к прямой p.

Отрезок СВ называется проекцией АВ на прямую p.

2. По данному рисунку решите задачу. ВС: АС=3:2, АВ= Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки А к прямой p.

Решение.

.

АВ2=……………………………………

 

АС=…………..

Ответ:………………….

3. Теорема об отношении перпендикуляра и наклонной.

Пусть из точки В, лежащей на стороне p острого угла А,

опущен перпендикуляр ВС на сторону q этого угла. Тогда

отношение перпендикуляра ВС к наклонной ВА не зависит

от выбора точки В.

Доказательство:

На стороне q выберем любую точку М.

SABC=…………………………………….

.

SABC=…………………………………….

………………………………

……………………………………

Возьмем на стороне p другую точку В1. Повторим проведенные рассуждения для треугольника АВ1М.

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………

Поэтому

4. Запишите зависимость y от х.

Определение синуса.

1. a) На одной из сторон острого угла А выбрана точка В. ВС – перпендикуляр, проведенный из точки В к стороне угла А.

Доказано, что не зависит от выбора точки В на стороне угла А.

Поэтому каждому острому углу можно сопоставить значение этого отношения.

Оно называется синусом угла А и обозначается SinA.

SinA=.

b) Синус тупого угла равен синусу смежного острого угла.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

SinDAB=SinBAC.

 

c) Синус прямого угла равен 1.

SinC=1.

d) Синус развернутого угла равен нулю.

SinABC=0.

 

2. Синусы углов, имеющих равные величины, равны.

На стороне p выберите точку В.

Из точки В проведите перпендикуляр к стороне q.

На стороне n постройте точку D так, чтобы MD=AB.

На стороне m постройте точку K так, чтобы MK=AC.

Докажите равенство треугольников ABC и MDK.

………………………………………………………..

………………………………………………………..

………………………………………………………..

………………………………………………………..

…………………………………………….

DK - ………………………………………………….

SinA=………………………………………………….

SinM=…………………………………………………

………………………………………………….

SinA=SinM.

Синус однозначно определяется не только самим углом, но и его величиной.

Синусы острых углов прямоугольного треугольника.

1. Назовите перпендикуляр, проведенный из точки А.

……………-перпендикуляр.

Назовите соответствующую наклонную.

……………-наклонная.

=……………………

Сформулируйте правило нахождения синуса острого

угла прямоугольного треугольника.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен …………………………………………………………

……………………………………катета к………………………………………….

Пользуясь правилом, дополните равенство SinA=………………………..

2. а) Определите градусные меры острых углов треугольника.

……………………………………………………………………..

Найдите гипотенузу треугольника.

АС2=……………………………………………………………………...

АС2=………………………………………………………………………

АС=………………………………………………………………………

Найдите синусы острых углов треугольника.

Sin A=…………………………………………………………………….

Sin C=…………………………………………………………………….

Итак, ……………………………………………………………

Определите ……………………………………………………

b) По рисунку определите градусные меры и синусы острых углов

прямоугольного треугольника.

…………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………….

c) Заполните таблицу.

3. По рисункам вычислите синусы углов.

 

Свойства синуса и его график.

1. Синус является функцией величины угла. Рассмотрим простейшие свойства этой функции.

1)  Синус угла не больше единицы.

2)  При возрастании угла от до его синус возрастает от 0 до 1.

3)  При возрастании угла от до его синус убывает от 1 до 0.

4)  Величина острого угла определяется синусом этого угла ( зная синус острого угла, можно найти угол ).

2. Построим график.

 

3. Расположите в порядке возрастания синусов углов.

1) ; ;.

Рассмотрим Sin; Sin; Sin.

Sin=……………………………..

Расположите синусы острых углов в порядке возрастания.

………………………………………………………………….

Ответ: ………………………………………………………….

2) ; ;

………………………………………………………………….

………………………………………………………………….

………………………………………………………………….

3) ; ; .

………………………………………………………………….

………………………………………………………………….

…………………………………………………………………..

4) ; ; .

…………………………………………………………………..

…………………………………………………………………...

……………………………………………………………………

4. Sin A= Найдите неизвестные элементы по рисункам.

5. Площадь ромба равна , а его сторона . Найдите синусы углов ромба. Найдите градусные меры углов ромба.

SABCD=……………………………………………………………

BH=……………………………………………………………….

Sin A=……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

………………………………………………………………….

Ответ:…………………………………………………………...

Решение прямоугольных треугольников с помощью синуса.

1. Дано:

Найдите:

Решение: Найдем один из острых углов, например, угол А.

SinA=……………………………………………………………..

По таблице найдем градусную меру угла А.

* ……………………………………………………………

2. По таблице найдите:

3. Нахождение элементов прямоугольного треугольника по острому углу и одной из его сторон.

а)

SinA=……………………………………………………………………….

BC=…………………………………………………………………………

*………………………………………………………………………..

SinB=………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………...

…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………

Ответ:

 

б)

*…………………………………………………………………………

SinB=…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………..

Ответ:

4. Решите прямоугольный треугольник, если его гипотенуза равна 12см, а один из острых углов равен

5. Решите прямоугольный треугольник, если его катет равен 1см, а угол, лежащий против этого катета, равен

Вычисление площади треугольника.

1. Теорема.

Дано:

Доказать: .

Решение:

SABC=……………………………………………………………………………………..

Найдем высоту BH.

Треугольник ABH – прямоугольный. Зная гипотенузу и острый угол, найдем катет.

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

SABC=……………………………………………………………………………………..

2. Решите задачи по готовым чертежам. Найдите площадь треугольника.

1) 2)

 

3. Дано:

AB=с

BC=a

BD-биссектриса

Найдите: .

Решение:

SABD=………………………………………………………………

SCBD=………………………………………………………………

=…………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………..

4. В треугольнике АВС АВ=4, ВС=6, BD-биссектриса, . Найдите: SABC, SABD, SCBD.

5. Определите формулу вычисления площади параллелограмма, если известны длины двух сторон этого четырехугольника и градусная мера угла, заключенного между ними.

Теорема синусов.

1. Решите задачи по готовым чертежам.

a) SABC=…………………………………..

 

b) SABCD=…………………………………

 

c) Найдите высоты параллелограмма.

 

d) Найдите AH, если .

е) . BD- биссектриса.

Найдите SABD,

SBDC.

 

2. Дано:

Найдите:

Решение:

Построим высоту CH.

Рассмотрим

SinA=………………………………………..

CH=………………………………………….

Рассмотрим…………………………………

SinB=………………………………………...

……………………………………………….

……………………………………………….

……………………………………………….

=…………………………………………

Сформулируйте доказанное утверждение.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. Теорема синусов: синусы углов треугольника пропорциональны противолежащим сторонам.

4. Решите треугольники.

Решение задач.

1. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

ВАРИАНТ №1.

В треугольнике со сторонами 3, 7 и 8 провели биссектрису большего угла. Найдите длины отрезков, на которые она разделила эту сторону.

ВАРИАНТ №2.

В треугольнике со сторонами 8, 10 и 12 провели биссектрису меньшего угла. Найдите длины отрезков, на которые она разделила эту сторону.

2. Работа в группах. Каждая группа начинает работу с заданий соответствующих номеру их группы.

№1. 1) Найдите синусы острых углов прямоугольного треугольника, если его катеты равны 3 и 4.

2) Найдите синусы острых углов прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и катет равны соответственно 10 и 8.

3) Найдите площадь треугольника, если две его стороны и угол между ними равны соответственно 2, 3 и.

4)В треугольнике АВС угол А равен , угол С равен , АС=. Найдите длину стороны ВС.

______________________________________________________________________________________________-

№ 2. 1) Найдите синусы острых углов прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 12.

2) Найдите синусы острых углов прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и катет равны соответственно 25 и 24.

3) Найдите площадь треугольника, если две его стороны и угол между ними равны соответственно 6, и.

4)В треугольнике АВС угол В равен , угол С равен , ВС=. Найдите длину стороны АВ.

__________________________________________________________________________________________________-

№ 3. 1) Найдите синусы острых углов прямоугольного треугольника, если его катеты равны 1 и 1.

2) Найдите синусы острых углов прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и катет равны соответственно 41 и 40.

3) Найдите площадь треугольника, если две его стороны и угол между ними равны соответственно 10, 20и.

4)В треугольнике АВС угол А равен , АС=, ВС=1.Каким может быть в этом треугольнике угол В? Определите вид треугольника в каждом из этих случаев.

__________________________________________________________________________________________________

№ 4. 1) Найдите синусы острых углов прямоугольного треугольника, если его катеты равны 15 и 8.

2) Найдите синусы острых углов прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и катет равны соответственно 15 и 12.

3) Найдите площадь треугольника, если две его стороны и угол между ними равны соответственно 5, 3и.

4)В треугольнике АВС угол С равен , ВС=1, АВ=. Найдите угол А и площадь треугольника.