Рабочая программа дисциплины «Элементы фрактальной геометрии»

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Уральский государственный педагогический университет»

Институт математики, информатики и информационных технологий

Кафедра высшей математики

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«Элементы фрактальной геометрии»

для ОПОП 44.03.05 «Педагогическое образование»

(с двумя профилями подготовки)

ИНФОРМАТИКА И МАТЕМАТИКА

Уровень бакалавриата

Екатеринбург 2016

Рабочая программа дисциплины «Элементы фрактальной геометрии»

Составитель (составители): , доцент, кандидат педагогических наук, доцент УрГПУ, кафедра высшей математики

Рабочая программа дисциплины обсуждена на заседании кафедры

высшей математики УрГПУ

(наименование кафедры)

Протокол от 14.01.2016 г. № 6.

 

Зав. кафедрой __________

Руководитель учебного подразделения ______________

(подпись)

1.  ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

1.1.  Наименование дисциплины (модуля): «Элементы фрактальной геометрии».

1.2.  Цели и задачи дисциплины (модуля).

Цели изучения дисциплины заключаются в формировании и развитии у студентов обще-профессиональных и профессиональных компетенций, регламентируемых профильным ФГОС, в частности, выпускник, освоивший программу бакалавриата, должен обладать:

-  способностью использовать естественнонаучные и математические знания для ориентирования в современном информационном пространстве (ОК-3);

Задачи изучения дисциплины.

-  научить студентов оперировать с основными понятиями фрактальной геометрии: самоподобие, размерность, размерность Хаусдорфа, топологическая размерность пояснить роль фрактальной геометрии во взаимосвязи с другими математическими дисциплинами;

-  сформировать у студентов элементы математической культуры, которые смогут обеспечить ясное понимание смысла и значения разделов математики, изучаемых в школе.

-  научить студентов проявлять самостоятельность и творческий подход в овладении математическими дисциплинами.

-  сформировать представление о важности теории фрактальной геометрии для будущей профессиональной деятельности.

1.3.  Место дисциплины в структуре ОПОП.

Дисциплина «Элементы фрактальной геометрии» изучается в рамках вариативной части как курс по выбору. Ее изучение основывается на таких математических понятиях, как функции одной переменной, дифференциальное и интегральное исчисление, числовые и функциональные ряды, вещественные и комплексные линейные пространства, топологическая размерность, линейные операторы, квадратичные формы, прямая, плоскость, окружность, круги и сферы, тригонометрические формулы, начала сферической и гиперболической геометрии, простые и взаимно простые числа, НОД, рациональные числа, подгруппы, нормальные группы, однородные пространства, классы смежности, метрические группы, рекурсия, итерации. Таким образом, курс «Элементы фрактальной геометрии» тесно связан с «Линейной алгеброй», «Теорией чисел», «Топологией», «Математическим анализом» и программированием.

1.4.  Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю), соотнесенных с планируемыми результатами освоениями образовательной программы

Название компетенций (или ее части)	Структура компетенций	Основные признаки уровня
ОК-3	Знает основы курса «Элементы фрактальной геометрии»	Приводит определения топологии, топологического пространства, связности, метрического пространства, исчисления симметрий, движения и гомотетии, сжимающего отображения, порождающей системы функций, числового и функционального ряда, самоподобного фрактала, ковра Серпинского, ковра Аполлония.
Понимает связи между разделами курса «Элементы теории фракталов» и разделами других математических дисциплин
Понимает связи между школьной математикой и элементами фрактальной геометрии
Умеет доказывать утверждения курса «Элементы фрактальной геометрии»	Знает идеи доказательства основных теорем курса «Элементы фрактальной геометрии»
Умеет аргументировано обосновывать основные положения курса «Элементы фрактальной геометрии»
Умеет решать задачи курса «Элементы фрактальной геометрии»	Воспроизводит основные способы решения пределов
Способен находить максимум и минимум множеств
Находит систему порождающих функций самоподобных фракталов

1.5.  Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах.

Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа. Учебный курс по дисциплине включает следующие виды учебных работ: лекции (14), лабораторные работы (14), самостоятельная работа (44), зачет.

1.6.  Особенности реализации дисциплины (модуля).

Дисциплина «Элементы фрактальной геометрии» реализуется на русском языке.

2.  УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

2.1.  Учебно-тематический план очной формы обучения

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятель-ная работа
Всего	Лекции	Практи-ческие	Лабора-торные
1.	Элементы топологии	16	4	2	2		10
2.	Метрические пространства	22	8	4	4		10
3.	Ковер Серпинского	22	8	4	4		12
4.	Ковер Аполлония	22	8	4	4		12
Итого	72	28	14	14		44

3.  СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

3.1.  Структурированное содержание дисциплины

1.  Элементы топологии.

Понятие топологии. Топологические пространства. Сравнение топологий. База топологии. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм. Топологические инварианты. Топологическое отождествление. Фактор-пространство и фактор-топология. Склеивание. Пространство орбит. Произведение топологических пространств. Связность и линейная связность топологических пространств. Компактность пространств.

2.  Метрические пространства.

Понятие метрического пространства. Метрика. Геометрические преобразования. Непрерывность отображений метрических пространств. Сжимающие отображения. Теорема о сжимающих отображениях. Теорема об e-сети.

3.  Ковер Серпинского.

Самоподобные фракталы. Определение ковра Серпинского (W). Хаусдорфова размерность. Оператор Лапласа-Бельтрани и его аналоги. Пространство гармонических функций на W¥. Свойство гармонических функций. Теорема о гармонических функциях на W¥. Многомерные аналоги ковра Серпинского.

4.  Ковер Аполлония

Конфигурация четырех попарно касающихся окружностей на плоскости. Уравнение Декарта. Строгое определение ковра Аполлония. Ковер-лента, прямоугольный ковер, треугольный ковер и сферический ковер. Арифметические свойства ковров Аполлония. Группа Г3, действующая на плоскости Лобачевского (модель Пуанкаре). Ковер Аполлония, как объединение 3k+2 подмножеств, гомеоморфных W

3.2.  Перечень тем лекционных занятий

Элементы топологии

1.  Понятие топологии. Топологические пространства. Сравнение топологий. База топологии.

2.  Непрерывное отображение. Гомеоморфизм. Изотопия. Топологические инварианты. Топологическое отождествление. Фактор-пространство и фактор-топология. Склеивание. Пространство орбит. Произведение топологических пространств.

3.  Топологическая сумма пространств. Связность и линейная связность топологических пространств. Компактность пространств.

Метрические пространства

1.  Понятие метрического пространства. Метрика. Непрерывность отображений метрических пространств.

2.  Сжимающие отображения. Теорема о сжимающих отображениях. Теорема об e-сети.

Ковер Серпинского

1.  Самоподобные фракталы. Определение ковра Серпинского (W). Хаусдорфова размерность

2.  Оператор Лапласа-Бельтрани и его аналоги

3.  Пространство гармонических функций на W¥.

4.  Свойство гармонических функций. Теорема о гармонических функциях на W¥

5.  Многомерные аналоги ковра Серпинского

Ковер Аполлония

1.  Конфигурация четырех попарно касающихся окружностей на плоскости. Уравнение Декарта.

2.  Строгое определение ковра Аполлония. Ковер-лента, прямоугольный ковер, треугольный ковер и сферический ковер.

3.  Арифметические свойства ковров Аполлония

4.  Группа Г3, действующая на плоскости Лобачевского.

5.  Группа Г3, действующая на плоскости Лобачевского (модель Пуанкаре).

6.  Ковер Аполлония, как объединение 3k+2 подмножеств, гомеоморфных W.

3.3.  Перечень тем лабораторных работ

Элементы топологии

1. Топологические пространства. Подпространства. Внутренность. Границы. Замыкание. Переход к индуцированной топологии: отделенность.

2. Непрерывные отображения. Произведения пространств. Фактор-пространства.

3.  Проблемы размерности. Определение размерности. Топологическая размерность подмножеств. Размерность Хаусдорфа

Метрические пространства

1.  Топология в метрических пространствах. Нормальность метрических пространств. Их Хаусдорфовость. Расстояние между двумя множествами. Компактное пространство

Ковер Серпинского

1.Оператор Лапласа на ковре Серпинского.

2.Сравнение спектров Dn и Dn-1.

3.Спектр оператора Лапласа на In.

4.Базисные функции χ, φ, ψ, ξ.

5.Продолжение и вычисление функций χ(t) и ψ(t).

6.Некоторые арифметические свойства основных функций.

7.Функции x(t), y(t), y(x).

8.Гармонический образ ковра I.

Ковер Аполлония

1.  Круги на сферах.

2.  Ковры с неограниченными размерами кругов.

3.  Три интерпретации множества D.

4.  Арифметические свойства ковров Аполлония.

5.  Целочисленные ковры Аполлония.

6.  Геометрический и теоретико-групповой подходы.

7.  Первая модель Пуанкаре плоскости Лобачевского.

8.  Многомерные ковры Аполлония.

3.4.  Примерные вопросы для контроля и самоконтроля
по разделам (темам)

№ п/п	Наименование раздела (темы)
1.	Элементы топологии. Определение топологической стуктуры. Примеры. 1.  Пусть X – бесконечное множество и . Условимся называть конечной топологией на Х. Докажите, что - топология наХ
2.	Метрические пространства. Определение метрики. Примеры. Докажите, что топология любого метрического пространства удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа.
3.	Ковер Серпинского. Определение ковра Серпинского. Какова Хаусдорфова размерность ковра Серпинского?
4.	Ковер Аполлония. Определение ковра Аполлония. Какова Хаусдорфова размерность ковра Аполлония?

4.  ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО-ИЕТОДИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

На самостоятельное изучение вынесены следующие вопросы:

1) Фракталы и их построение с помощью аффинных преобразований на вещественной плоскости.

2) Исследование фрактальных множеств на комплексной плоскости.

3) Фракталы в природе.

Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы студентов.

1.Кириллов, о двух фракталах / : Учебно-методическое пособие. МЦНМО, М., 2010. – 180 с;

2.Осташков, офракталах / . – Тюмень : ТюмГНГУ, 2011. – 280 с.

5. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

Промежуточная аттестация (зачет) по дисциплине проводятся письменно и с последующим индивидуальным собеседованием со студентом по результатам его письменного ответа.

1°. Перечень компетенций формируемых в процессе освоения дисциплины, заявленных в РУПД:

– способность использовать базовые знания естественных наук, математики и информатики, основные факты, концепции, принципы теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой (ОПК-1);

– способность эффективно применять базовые математические знания и информационные технологии при решении проектно-технических и прикладных задач, связанных с развитием и использований информационных технологий (ПК-6).

2°. Примеры контрольных заданий для проверки уровня сформированности компетенций. На зачете студенту предлагается экзаменационный билет. Билет содержит один теоретических вопроса и два практических задания. Требуется:

-  сформулировать письменно определения, свойства или теоремы, привести подробные доказательства;

решить задачи, записав подробно весь ход решения.

3°. Типовые зачетные задания содержат предметные задания для инструментальной проверки средствами дисциплины уровня сформированности компетенций по следующим модулям

М-1: Топологическое пространство.

М-2: Метрическое пространство.

М-3: Ковер Серпинского.

М-4. Ковер Аполлония.

Типовые задачи для подготовки к зачету:

М-1. Топологическое пространство.

1.1. Пусть X – бесконечное множество и . Условимся называть конечной топологией на Х.

Докажите, что - топология наХ

1.2. Пусть X – бесконечное множество и . Условимся называть конечной топологией на Х.

Докажите, что( - Т1 пространство.

1.3. Пусть X – бесконечное множество и . Условимся называть конечной топологией на Х.

Если (Х,)-топологическое пространство, удовлетворяющее Т-аксиоме отделимости, то

1.4. Пусть X – бесконечное множество и . Условимся называть конечной топологией на Х.

Любые два непустых открытых в множества пересекаются

М-2. Метрическое пространство.

2.1. Докажите, что топология любого метрического пространства удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа.

2.2. Приведите пример метрического пространства и фундоментальной последовательности в нем, не имеющей предела.

2.3. Приведите пример множества Х и двух различных метрик на нем, приводящих к одной и тойже топологии на Х. Всякие ли две метрики на данном множестве Х приводят к одной и той же топологии.

2.4. Приведите пример двух непересекающихся замкнутых множеств прямой (плоскости), расстояние между которыми равно нулю.

2.5. Приведите пример сжимающего отображения.

2.6. Напишите систему порождающих функций Канторово множества С.

М-3. Ковер Серпинского.

3.1. Какова Хаусдорфова размерность ковра Серпинского?

3.2. Какова Хаусдорфова размерность Канторова множества?

3.4. Какова Хаусдорфова размерность Ia-фрактала?

3.5. Напишите систему порождающих функций ковра Серпинского.

3.6. Напишите систему порождающих функций Ia-фрактала.

М-4. Ковер Аполлония.

4.1. Покажите, что классы сопряженных элементов в Cosf2 –это в точности множества уровня I(g)=const для функции с единственным исключением: множество I(g)=0 является объединением двух классов: {e} и класса, содержащего жорданов блок J2.

4.2. Какова Хаусдорфова размерность ковра Аполлония?

Таблица оценки уровня сформированности компетенций при промежуточной аттестации студентов по дисциплине «Фрактальная геометрия»

Название компетенций (или ее части)	Структура компетенций	Основные признаки уровня
ОПК-1, ПК-6	Знать	Приводит определения топологии, топологического пространства, связности, метрического пространства, исчисления симметрий, движения и гомотетии, сжимающего отображения, порождающей системы функций, числового и функционального ряда, самоподобного фрактала, ковра Серпинского, ковра Аполлония.
Понимает связи между разделами курса «Элементы теории фракталов» и разделами других математических дисциплин
Понимает связи между школьной математикой и элементами фрактальной геометрии
Уметь	Доказывает основные теоремы курса «Элементы фрактальной геометрии»
Умеет аргументировано обосновывать основные положения курса «Элементы фрактальной геометрии»
Воспроизводит основные способы решения пределов
Способен находить максимум и минимум множеств
Владеть	Находит систему порождающих функций самоподобных фракталов

Расчет взвешенного уровня сформированности инструментально оцениваемой компетенции (УСК) в данном аттестационном задании выполняется по формуле:

УСК(%) = 100´[0,2׫Знать» + 0,4׫Уметь» + 0,4׫Владеть»];

в формуле «Знать» – количество баллов, набранных по категории «Знать»; в формуле «Уметь» – количество баллов, набранных по категории «Уметь»; «Владеть» – количество баллов, набранных по категории «Владеть».

Если одна и та же компетенция оценивается несколькими аттестационными заданиями, то за общий уровень сформированности компетенции принимается среднеарифметическое значение по ним.

Итоговый уровень сформированности компетенции определяется с помощью переводной шкалы:

Менее 50%, «–» – компетенция не сформирована;

От 50% до 67%, Н, «» – начальный уровень сформированности компетенции;

От 67% до 85%, Б, «±» – базовый уровень сформированности компетенции;

От 85% до 100%, В, «+» – высокий уровень сформированности компетенции.

6.УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

6.1.Рекомендуемая литература

Основная

1.  Архангельский, общей топологии в задачах и упражнениях / , : Учебно-методическое пособие. НАУКА, М., 1974. – 424 с; Кол-во 10.

2.  Бакушинский, функционального анализа [Текст.] учеб. Пособие для студентов вузов по направлению «Приклад. Математика и информатика»/ , . –М.: «Академия», 2011. 192с (Высшее профессиональное образование). – Библиогр.: с. 183. – Рек. Учеб.-метод. советом Р. Ф. –ISBN 978-5-7695-6974-6:43010 Кол-во 10.

3.  рактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных тестирований, 2002.

4.  Филимоненкова, задач по функциональному анализу [Теаст]: [учебное пособие]/. – Санкт-Петербург; Москва; Краснодар: Лань, 2015. – 228, [1] с. – ([Учебники для вузов. Специальная литература]). – Допущено НМС по математике в качестве учеб. Пособия для студентов техн. Направлений бакалавриата инаправлений «Прикладная математика», «Прикладная математика и информатика» техн. вузов. – ISBN 978-5-8114-1822-0. Кол-во 10.

Дополнительная

1.Обучение фрактальной геометрии и информатике в вузе и школе в свете идей академика А. Н.  Колмогорова : материалы международной научно-практической конференции, гю Кострома, 7-9 декабря 2011 г. / под ред. , . – Кострома : КГУ им. , 2011. – 405 с. Кол-во 2.

2.Осташков, офракталах / . – Тюмень : ТюмГНГУ, 2011. – 280 с.

1.  , Скрябин информационных и коммуникационных технологий в процессе обучения фрактальной геометрии. / Информатизация образования-2008: Материалы Международной научно-практической конференции. – Славянск-на-Кубани: Издательский центр СГПИ, 2008. – 442 с. Кол-во 2.

2.  htth: //en. Wikipedia. Org/wiki/fractal

3.  htth: //classec. Yale. Edu/fractal/

4.  htth: //www. fags. org/fags/ fractal-fag/.

6.2.Информационное обеспечение дисциплины

Цифровые образовательные ресурсы сети Интернет (в частности, сайты www. exponenta. ru; www. school-collection. edu. ru), сайт электронной библиотеки УрГПУ (http://e-lib. uspu. ru), авторские презентации лекций.

6.3. Печатные и (или) электронные ресурсы
для лиц с ОВЗ

В процессе освоения дисциплины обучающимися с ограниченными возможностями здоровья используется специальное техническое и программное обеспечение, а также электронные образовательные ресурсы.

Оборудование:

·  два компьютера с тактильным дисплеем Брайля PAC Mate 20, большой программируемой клавиатурой IntelliKeys USB

·  универсальный мобильный лестничный подъемник «ПУМА-УНИ-130»

Программное обеспечение:

·  программа экранного доступа JAWS for Windows версия 16.0. Pro;

·  программа синтеза речи “Infovox 4”.

Электронные ресурсы:

·  лекции в виде презентаций по всем темам курса (входят в состав электронного УМК по дисциплине).

7.МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

При изучении дисциплины «Элементы фрактальной геометрии», помимо обычного оборудования учебной аудитории, рекомендуется использовать технические средства обучения (персональные компьютеры, медиа проектор).

8.СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ

Кандидат педагогических наук
доцент
доцент кафедры высшей математики ИМИиИТ УрГПУ
рабочий телефон	[phone]