Дифференциальное исчисление (стр. 4 )

Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение  является …

			уравнением Бернулли
			линейным дифференциальным уравнением первого порядка
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
			однородным относительно  и  дифференциальным уравнением первого порядка

Решение:
Уравнение  можно представить в виде , где .
Действительно, . Поэтому данное уравнение является уравнением Бернулли.

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Если угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее точке вдвое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки касания, то уравнение этой кривой будет иметь вид …

			,
			,
			,

Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид частного решения  линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  будет выглядеть как …

Решение:
Общее решение этого уравнения можно записать в виде , где функция  – общее решение однородного уравнения , а функция  – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение  и найдем его корни: . Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид . Поскольку правая часть исходного уравнения , то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как  не является корнем характеристического уравнения, то частное решение  неоднородного уравнения будем искать в виде .

Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Наименьшее значение функции на отрезке  равно …

Решение:
Вычислим производную первого порядка  и решим уравнение , а именно . Тогда , . Так как , то вычислим
, , .
Тогда наименьшее значение данной функции равно .

Тема: Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов
Коэффициент при  в разложении в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям  и , будет равен …

			– 1
			– 2
			1
			2

Решение:
Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям, будем искать в виде ряда Маклорена:  
Из исходного уравнения находим, что . Поэтому коэффициент при  будет равен .

Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Промежуток возрастания функции  имеет вид …

Решение:
Применим достаточное условие возрастания функции, которое можно сформулировать следующим образом: если в некотором промежутке , то функция  в этом промежутке возрастает. Поэтому вычислим производную первого порядка  и решим неравенство . Предварительно найдем корни уравнения , а именно . Тогда .
Следовательно,  при .