Дифференциальное исчисление (стр. 5 )

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Общее решение дифференциального уравнения  имеет вид …

Решение:
Разделим переменные: . Проинтегрируем обе части уравнения: . Тогда . Откуда .

Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение  является …

			линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка
			однородным относительно  и  дифференциальным уравнением первого порядка
			уравнением Бернулли
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

Решение:
Уравнение  может быть сведено к уравнению вида . Действительно, , поэтому данное уравнение является дифференциальным линейным уравнением первого порядка.

Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид частного решения  линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  будет выглядеть как …

Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Промежуток убывания функции  имеет вид …

Решение:
Применим достаточное условие убывания функции, которое можно сформулировать следующим образом: если в некотором промежутке , то функция  в этом промежутке убывает. Поэтому вычислим производную первого порядка  и решим неравенство . Предварительно найдем корни уравнения , а именно . Тогда .
Следовательно,  при .

Тема: Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов
Два первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям  и , имеют вид …

Решение:
Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям, будем искать в виде ряда Маклорена:
 
Из исходного уравнения находим, что .
Поэтому с учетом начальных условий имеем:

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Если подкасательная в любой точке кривой равна удвоенной абсциссе точки касания, то уравнение этой кривой будет иметь вид …

			,
			,
			,

Решение:
Подкасательная в произвольной точке равна . Тогда для нахождения уравнения искомой кривой получим уравнение с разделяющимися переменными . Разделив переменные, получим . Проинтегрируем обе части этого уравнения: . Тогда , .
Откуда , .

Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид частного решения  линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  будет выглядеть как …

Решение:
Общее решение этого уравнения можно записать в виде , где функция  – общее решение однородного уравнения , а функция  – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение  и найдем его корни: . Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид .
Поскольку правая часть исходного уравнения , то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как  не является корнем характеристического уравнения, то частное решение  неоднородного уравнения будем искать в виде .