Раздел 2.
Аналитическая геометрия
Даны последовательные вершины параллелограмма: А(0; 0), В(1; 3), С(7; 1). Найти угол между его диагоналями и показать, что данный параллелограмм является прямоугольником.Решение:
Составим уравнение сторон AB и BC:
Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки 
и 
выражается формулой:
Уравнение стороны АВ: 
Уравнение стороны ВC: 
или 
Составим уравнение стороны CD, проведенной из вершины С. Так как CD||АB, следовательно сторона CD имеет следующий вид: 
, при этом координаты точки С удовлетворяют данному уравнению. Таким образом, 
. Получим, 
Уравнение стороны CD: 
Составим уравнение стороны АD, проведенной из вершины А. Так как АD||BС, следовательно сторона АD имеет следующий вид: 
, при этом координаты точки А удовлетворяют данному уравнению. Таким образом, 0
. Получим, 
Уравнение стороны АD: 
Для нахождения координат вершины D – точки пересечения стороны СD и стороны AD нужно решить совместно из уравнения 
. Точка 
.
Составим уравнение диагоналей AC и BD. Диагональ АС проходит через точки А (0; 0) и С (7; 1); диагональ ВD – через точки В (1;3) и D (6; - 2)
Уравнение стороны АВ: 
Уравнение стороны ВC: 
или 
Найдем угол между диагоналями, то есть угол между прямыми 
и 
.
Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.
Угол ц между двумя прямыми, заданными общими уравнениями 
и 
, вычисляется по формуле:
Найдем угол между сторонами АВ и ВС, то есть угол между прямыми
и 
.
Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые перпендикулярны и угол между двумя прямыми равен 
.
АВСD – параллелограмм, то есть АВ=СD, ВС= АD
, 
В параллелограмме стороны попарно равны, углы прямые, следовательно АВСD является прямоугольником.
Написать канонические уравнения прямой:
. Решение:
Первый способ. Наметим такой план решения задачи: из системы исключим сначала y и выразим z через x, потом исключим х и выразим z теперь уже через y.
Для того чтобы из системы исключить у, сложим первое уравнение системы почленно со вторым. Получим, что 12x–z+12=0, откуда 
Умножая первое уравнение на (–2), и складывая со вторым их почленно, получим 10y+7z –4 =0, откуда 7z= –10(y – 0,4) или
Сравнивая найденные значения z, получаем уравнение прямой в каноническом виде
Умножая теперь все знаменатели на 60, окончательно получим
. Прямая проходит через точку
M(-1; 0,4; 0) и имеет направляющий вектор 
.
Второй способ. Найдем направляющий вектор 
прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам заданных плоскостей 
и 
, то в качестве его можно взять векторное произведение векторов 
: 
X
=
Таким образом, l = 5, m = -42, n = -60. За точку 
, через которую проходит искомая прямая, можно принять точку её пересечения с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью ХOY. Поскольку при этом 
, координаты 
определяются из системы уравнений заданных плоскостей, если положить в них 
, отсюда получаем 
=-1 и 
= 0,4. Так как каноническое уравнение имеет вид 
, то в данном случае 
.
Треугольник АВС образован пересечением плоскости 
с координатными осями. Найти уравнения средней линии треугольника, параллельной плоскости ХОY, и угол, который образует она с прямой 
Решение:
Треугольник АВС образован пересечением плоскости 
с координатными осями, значит вершины треугольника располагаются на координатных осях и имеют следующие координаты:
; B
; C
Координаты данных точек, удовлетворяют уравнению плоскости, поэтому подставляя их в уравнение 
, найдем 
→
→ 
→ 
→ 
→ 
→ 
Точки 
; B
; C
являются вершинами треугольника АВС.
Найдем точки Е – середины стороны АС:
; 
; 
; 
0 ; 
Найдем точки K – середины стороны BС:
; 
; 
; 
; 
Составим уравнение средней линии треугольника, параллельной плоскости ХОУ, которая проходит через точки Е и К.
Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки
выражается формулой: 
- уравнение средней линии ЕК.
Найдем угол, который прямая ЕК образует с прямой 
Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина острого угла между прямыми
вычисляется по формуле:
