Приложения метода координат (стр. 2 )

Углом между ненулевыми векторами и называется угол между лучами и .

       Из этого определения следует, что угол между векторами и можно определить в плоскости, содержащей точки (рисунок 1).

       В частности, когда векторы и сонаправлены, то точки и лежат на одном луче с началом , а поэтому угол между такими векторами равен нулю. Когда векторы и противоположно направлены, то лучи и образуют развернутый угол, а поэтому угол между такими векторами равен .

       В остальных случаях величина угла между двумя ненулевыми векторами принимает значения из промежутка ; в градусной мере или из промежутка в радианной мере.

Вопрос. Как определить перпендикулярность двух ненулевых векторов, связанных с одной точкой?

1.6. Геометрический смысл скалярного произведения векторов

Пусть точки , , пространства не лежат на одной прямой. Тогда, с одной стороны, можно рассмотреть треугольник и по теореме косинусов записать равенство 

               (1)

(1) С другой стороны, можно рассмотреть векторы , и (рисунок 2). Тогда , , . Поэтому

               (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что

               (3)

Таким образом, мы доказали, что когда векторы , неколлинеарны, то скалярное произведение векторов и равно произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла между этими векторами.

Пусть теперь ненулевые векторы и коллинеарны. Тогда , где соответствующее число.

При векторы и сонаправлены и .

При векторы и противоположно направлены и 

.

В результате рассмотрены все возможные случаи и доказана следующая теорема.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла между ними.

Пример 4. Пусть , и . Тогда , , , , , .

Вопрос. Как доказать, что площадь треугольника можно вычислить по формуле

       

1.7. Угол между свободными векторами

Равные векторы имеют равные координаты. Это свойство позволяет определить скалярное произведение двух векторов, связанных с различными точками.

Скалярным произведением векторов и называется скалярное произведение равных им векторов, связанных с одной точкой.

Для того чтобы сохранить геометрическое свойство скалярного произведения, определяют величину угла между произвольными векторами.

Величиной угла между двумя ненулевыми векторами и называется величина угла между равными им векторами, связанными с одной точкой.

Иногда величину угла между векторами и будем обозначать .

Пример 5. В кубе найти угол между векторами и .

Решение. Так как , то угол между заданными векторами равен углу между векторами и . В данном примере этот угол можно найти из геометрических соображений. Если ребро куба равно , то , , .

Следовательно, треугольник равносторонний, а поэтому .