Приложения метода координат (стр. 1 )

5. Приложения метода координат

       В этой главе мы рассмотрим скалярное произведение векторов в пространстве, установим геометрический смысл скалярного произведения, определим понятие нормали к плоскости и докажем, что каждую плоскость в пространстве можно задавать линейным уравнением с тремя неизвестными. Рассмотрим применение прямоугольной системы координат в пространстве для решения задач на вычисление угла между прямыми, между плоскостями, между прямой и плоскостью и задач на вычисление расстояний от точки до плоскости, от точки до прямой, между скрещивающимися прямыми. В конце главы приводятся примеры на применение координат для решения задач со сферами.

Урок 1. Скалярное произведение векторов

План урока

1. Определение скалярного произведения векторов в пространстве

2. Алгебраические свойства скалярного произведения векторов

3. Преобразования выражений, содержащих скалярное произведение векторов

4. Вычисление длины вектора с помощью скалярного произведения

5. Угол между векторами, связанными с одной точкой

6. Геометрический смысл скалярного произведения векторов

7. Угол между свободными векторами

8. Признак перпендикулярности векторов

9. Пример применения признака перпендикулярности векторов

Тесты

Домашнее задание

1.1. Определение скалярного произведения векторов в пространстве

Аналогично тому, как это делалось на плоскости, в пространстве с помощью прямоугольной системы координат определим скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов и , связанных с точкой , называется число, равное

       

Скалярное произведение векторов и обозначается . Таким образом, если , , то

       

Пример 1. Пусть точки , , имеют координаты , , . Тогда , и

Важно понять, что скалярное произведение двух векторов — это число. Поэтому при действиях с векторами следует четко различать, где появляются векторы, а где — числа.

Вопрос. Какой смысл имеет выражение , где , и ?

1.2. Алгебраические свойства скалярного произведения векторов

В пространстве скалярное произведение векторов имеет следующие основные свойства.

1. .

2. .

3. .

Эти свойства нетрудно доказать с помощью координат. Например, докажем третье свойство.

Пусть , , . Тогда

.

Таким образом, равенство доказано.

Вопрос: Как доказать второе свойство?

1.3. Преобразования выражений, содержащих скалярное произведение векторов

Основные свойства скалярного произведения позволяют производить преобразования, частично похожие на действия с числами.

Пример 2. Доказать, что .

Доказательство. Разность можно представить в виде . Поэтому . Далее имеем:

(по третьему свойству)

(по первому свойству)

(по второму свойству)

(по третьему свойству)

(по второму и первому свойствам)

.

Вопрос. Как доказать, что ?

1.4. Вычисление длины вектора с помощью скалярного произведения

Скалярное произведение векторов обладает важными геометрическими свойствами. В этом пункте рассмотрим свойство, связанное со скалярным умножением вектора на себя.

Пусть , где , . Тогда вектор имеет координаты , и по определению

       

Вспомним, что длина вектора , равная длине отрезка , вычисляется по формуле 

       

Поэтому 

       

Таким образом, скалярное произведение – это число, равное квадрату длины вектора .

Иногда скалярное произведение для краткости обозначают как . Это позволяет, например, записать равенство

       

Пример 3. Найти длину вектора , где , .

Решение. . Поэтому . Так как , то .

Вопрос. Какой геометрический смысл имеет произведение ?

1.5. Угол между векторами, связанными с одной точкой

Для того чтобы в общем случае установить геометрический смысл скалярного произведения двух ненулевых векторов, введем понятие угла между векторами, связанными с одной точкой.