Теория вероятностей и математическая статистика Методические указания для студентов очной формы обучения по выполнению практических заданий (стр. 13 )

pij=P{X=xi, Y=yj}, где i=1, 2, …, n, j=1, 2, …, m.

n, m – число возможных значений случайных величин X и Y. 

Так же, как и в непрерывном случае:

,  ,  .

Пример 1. Качество продукции характеризуется двумя случайными величинами: X и Y. Закон распределения случайного вектора (X, Y) представлен в таблице:

yj xi	0	0,1	0,2	0,3	pi
5	0,2	0,1	0,05	0,05	0,4
6	0	0,15	0,15	0,1	0,4
7	0	0	0,1	0,1	0,2
pj	0,2	0,25	0,3	0,25

На пересечении i-той строки и j-того столбца таблицы находятся вероятности pij=P{X=xi, Y=yj}.

Найти закон распределения координат X и Y случайного вектора.

Решение. Вероятность события {X=xi}=pi, есть сумма вероятностей, находящихся в i-той строке. Вероятности pi находятся в последнем столбце таблицы.

Ряд распределения случайной величины X имеет вид:

xi	5	6	7
pi	0,4	0,4	0,2

Ряд распределения Y находим, вычисляя суммы элементов столбцов таблицы. Эти вероятности pj находятся в последней строке таблицы.

Ряд распределения случайной величины Y  имеет вид:

yj	0	0,1	0,2	0,3
pj	0,2	0,25	0,3	0,25

Условное распределение компонент дискретного случайного вектора (X, Y) – это ряд распределения одной случайной величины, вычисленной при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение, а именно:

; 

Пример 2. В условиях закон распределения дискретного случайного вектора (X, Y) из примера 1, найти условное распределение случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла значение y2=0,1.

Решение. Выбрав значения pi2 из столбца таблицы, соответствующего значению y2=0,1, и разделив их на 0,25, получаем следующее условное распределение X при условии, что Y=0,1:

xi	5	6
pX(xi|y2)	0,4	0,6

Пример 3.  Непрерывная  случайная  величина задана функцией распределения

Найти функцию плотности и числовые  характеристики , , . Вычислить  вероятности  попадания случайной величины в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).

Решение. Найдем плотность распределения

Найдем  математическое  ожидание

.

Найдем  дисперсию и среднее квадратическое  отклонение

.

Используя  формулу                ,

найдем вероятности попадания в заданные интервалы

,

.

ЗАДАНИЯ

Вариант 1.

1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной плотностью распределения f(x) = 1 на интервале (0;1).

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной функцией распределения  F(x)=

3. Случайная  величина  Х  в  интервале (2;4) задана плотностью  распределения f(x) = - 0,75x2+ 4,5x – 6;вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду величины Х.

4. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения  F(x)=

5. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = 2x в интервале (0;2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Вариант 2.

1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной плотностью распределения f(x) = 2х на интервале (0;2).

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной функцией распределения F(x)=

3. Случайная  величина  Х  в  интервале  (3;5)  задана  плотностью  распределения  f(x) = - 0,75x2+ 6x – 11,25;вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду величины Х.

4. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения  F(x)=

5. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = 3x в интервале (0;1); вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Вариант 3.

1.Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной плотностью распределения f(x)= на интервале (0;2).

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной функцией распределения F(x)=

3. Случайная величина Х в интервале (0;1) задана плотностью распределения f(x)= 3x2; вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду величины Х.

4. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения  F(x)=

5. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = 4x в интервале (0;3); вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Вариант 4.

1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной плотностью распределения f(x) = х на интервале (0;3).

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной функцией распределения F(x)=

3. Случайная  величина  Х  в  интервале (3;5) задана плотностью распределения f(x) = - 1,5x2+ 12x – 22,5;вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду величины Х.

4. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения  F(x)=

5. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = 5x в интервале (0;2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение математического ожидания непрерывной случайной величины.

2. Дайте определение дисперсии непрерывной случайной величины.

3. Дайте определение среднего квадратического отклонения непрерывной случайной величины.

4. Дайте определение моды.

5. Дайте определение начального момента.

6. Запишите формулы вычисления моды и начального момента.

Практическое занятие №10

Тема: Вычисление вероятностей для нормально распределенной величины (или суммы нескольких нормально распределенных величин); вычисление вероятностей и нахождение характеристик для показательно распределенной величины.

Цель занятия: решение задач на вычисление вероятностей для нормально распределенной величины или суммы нескольких нормально-распределенных величин; вычисление вероятностей и нахождение характеристик для показательно распределенной величины, развитие логического и творческого мышления студентов,  самостоятельной деятельности, вычислительных навыков.