Вопросы к экзамену по геометрии 9 класс

Вопросы к экзамену по геометрии 9 класс.

Теоретические вопросы.

Треугольник. Виды треугольника. Признаки равенства треугольников. Теорема о сумме углов в треугольнике. Внешний угол треугольника. Свойства внешнего угла треугольников. Медина и высота в треугольнике.  Взаимное расположение прямых. Свойства углов при параллельных прямых и секущей. Смежные, вертикальные углы, биссектриса угла. Свойства углов треугольников, свойства углов параллелограмма. Прямоугольный треугольник. Подобие прямоугольных треугольников. Теорема Пифагора. Свойство углов прямоугольного треугольника. Свойства высоты, проведенной из прямого угла. Свойства медианы, проведенной из прямого угла. Свойство биссектрис, проведенной из острых углов прямоугольного треугольника.  Равнобедренный и равносторонний треугольник. Свойства равнобедренных и равностороннего треугольников. Признак равнобедренного и равностороннего треугольника. Высота, биссектриса, медиана треугольника. Свойство медианы равнобедренного треугольника. Свойство медианы в треугольнике. Признаки параллельности прямых.

Прямые m и n параллельны. Найдите угол 3, если угол 1 равен 22°, угол 2 равен 72°. Ответ дайте в градусах.

Прямоугольный треугольник. Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла 30°. Отношения в прямоугольном треугольнике. Египетский треугольник. Перпендикуляр, наклонная. Неравенство треугольника. Окружность. Радиус, диаметр, хорда. Окружность, описанная около треугольника, вписанная в треугольник. Нахождение радиуса окружности вписанной в окружность и описанной около треугольника. Касательная к окружности. Свойства касательной к окружности. Свойство угла между касательной и хордой, проведенной в точку касания (Задача 59 стр 160). Параллелограмм. Свойство диагоналей параллелограмма. Признак параллелограмма. Свойство углов в параллелограмме. Свойство биссектрис параллелограмма, проведенных из углов прилежащих к одной стороне. Признаки параллелограмма. В параллелограмме АВСD прямая АС делит угол при вершине А пополам. Найдите угол, под которым пересекаются диагонали параллелограмма. Ответ дайте в градусах. Прямоугольник,  ромб, квадрат. Свойства диагоналей, углов. Признаки. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника. Средняя линия трапеции. Четырехугольник. Свойства четырехугольника вписанного в окружность и описанного около него. Трапеция, вписанная в окружность и описанная около нее. Трапеция. Средняя линия трапеции. Равнобокая трапеция. Прямоугольная трапеция.  Нахождение высоты в равнобокой и не равнобокой трапеции по сторонам трапеции. Центральный угол. Углы, вписанные в окружность. Свойства углов опирающихся на одну хорду и лежащие по одну сторону от нее. Свойство вписанного угла, соответствующего центральному. Свойства углов, вписанных в окружность. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. Подобие фигур. Коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников. Признаки подобия прямоугольного треугольников. Понятие площади. Основные формулы нахождения геометрических фигур: треугольник, параллелограмм, трапеция, ромб, квадрат. Ломаная. Замкнутая ломанная. Многоугольники. Правильные многоугольники. Правильные многоугольники вписанные в окружность и описанные около нее. Связь радиусов вписанной и описанной окружности и стороны правильного многоугольника (квадрат, правильный треугольник, правильный шестиугольник). Понятие вектора. Основные свойства векторов. Правила сложения векторов. Основные задачи в координатах (нахождение середины отрезка, расстояние между точками).

Практические задачи. Задачи первого  уровня сложности.

Величины углов треугольника относятся как 2:3:5. Чему равен наименьший внешний угол этого треугольника. Величины углов, образованных при пересечении прямых, относятся как 2:3. Чему равен наименьший из полученных углов? Чему равны смежные углы, если один из них на 32° больше другого? Величины углов треугольника относятся как 3:4:5. Найдите углы треугольника. На прямой АВ отмечена точка М. Луч МD – биссектриса угла СМВ. Известно, что угол DМС равен 65°. Найдите угол СМА. Ответ дайте в градусах. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 24°. Найдите угол при вершине, противолежащий основанию. Ответ дайте в градусах. В треугольнике АВС АС = ВС. Внешний угол при вершине В равен 142°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах. В равностороннем треугольнике построены две медианы. Чему равен тупой угол, образованный при их пересечении? В треугольнике АВС угол С – прямой, sinА = 0,2, ВС = 5. Найдите АВ. Сторона АС треугольника АВС проходит через центр описанной около него окружности. Найдите угол С, если угол А равен 74°. Ответ дайте в градусах. Окружность, вписанная в треугольник. В окружности с центром в точке О постройте два диаметра АВ и СD. Докажите, что АD= ВС. Диагональ ВD параллелограмма АВСD образует с его сторонами углы, равные 60° и 55°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции АВСD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной СD углы, равные 25° и 100° соответственно. Ответ дайте в градусах. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 47°. Касательные к окружности, проведенные в точках А и В, пересекаются в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах. Четырехугольник, вписанный в окружность. Четырехугольник АВСDвписан в окружность. Угол АВС равен 92°, угол САD равен 60°. Найдите угол АВD. Ответ дайте в градусах. Четырехугольник, описанный около окружности. Четырёхугольник  АВСD описан около окружности. Найдите сторону АВ, если ВС = 13, СD = 26, АD = 18. Около трапеции, один из углов которой равен 44°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции. 32. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 16 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,1 м. Найдите длину тени человека в метрах. В треугольнике ABC угол C равен 90∘, AC=9, tg A=. Найдите AB. В треугольнике ABC угол C равен 90∘, sinA= , AC=9.  Найдите AB. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45∘. Найдите площадь треугольника. Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 2 часа 16 минут?

В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 36, а сторона AB равна 45. Найдите cosB.
В трапеции ABCD AB=CD, ∠BDA=64∘ и ∠BDC=19∘. Найдите угол ABD.
В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, СН— высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 10, а меньшее основание BC равно 4.
В треугольнике со сторонами 18 и 9 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 62∘.  Найдите величину угла OMK.
Лестница соединяет точки A и B и состоит из 20 ступеней. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина — 48 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).
Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=26∘ и ∠ACB=145∘. Найдите угол DCB
На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?
В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 30°. Найдите величину угла ODC.
Боковая сторона трапеции равна 4, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 5.
Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.
Радиус окружности с центром в точке O равен 26, длина хорды AB равна 48 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=157∘. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
Точка O – центр окружности, на которой лежат точки S, T и V таким образом, что OSTV – ромб. Найдите угол OVT. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике ABC BM – медиана  и BH – высота. Известно, что AC=88 и BC=BM. Найдите AH.
В треугольнике ABC AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=42 и CH=18. Найдите cosB.
Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=56∘ и ∠OAB=15∘. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
Проектор полностью освещает экран A высотой 150 см, расположенный на расстоянии 210 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 320 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?
Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 40° соответственно.
Лестницу длиной 2,5 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 0,7 м?
В равнобедренной трапеции известна высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.
В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 57. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

Задачи второго уровня сложности.

1.

2.

3.

4.

5.

6

7.

8. .

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24. 

25.

26.

27.

28.

29.

30. 

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39. 

40.

41.

42.

43

44.

45.

46.