Элементы теории вероятностей (стр. 2 )

3.  Классическое  определение  вероятности  события

Пусть при данном испытании происходит п равновозможных и попарно несовместных случайных событий. Назовем их исходами. Наступлению события  А  благоприятствует  т исходов.

Определение. Вероятностью события  А, которую обозначают  Р(А), называют отношение числа  т  исходов, благоприятствующих появлению события  А,  к числу  п  всех исходов, т. е.

.  (5)

Для достоверного события    и  вероятность  .  Для невозможного события    и  значит  . Поэтому для любого события  А  его вероятность есть число, заключенное между нулем и единицей

.  (6)

Пример 5.

В ящике 10 шаров,  из них 6 шаров белого цвета и 4 шара зеленые. Наудачу (случайным образом) берут 3 шара.  Найти вероятность того, что это будут 2 белых шара и 1 зеленый.

Решение.

Вынимаем  3  шара  =  2 бел.  + 1 зелен.

Пусть событие  А  –  вынимают  2  белых  и  1  зеленый шар.

.

Число  п  всех исходов, т. е. сколькими способами можно вынимать  3  шара  из  10, лежащих в ящике, равно числу сочетаний  из  10  по  3, следовательно,

.

Теперь найдем число  т  исходов, благоприятствующих наступлению события  А. Число вариантов – взять 2 белых шара из имеющихся 6 белых шаров – равно числу сочетаний из 6 по 2, а взять 1  зеленый шар из имеющихся  4 зеленых шаров  –  это число сочетаний из 4 по 1.  Тогда т равно их произведению (каждый вариант – выбрать 2 белых шара – надо перебрать с каждым вариантом – выбрать 1 зеленый шар)

.

Значит искомая вероятность равна

.

Ответ: 0,5.

Пример 6.

10 книг ставят на полку случайным образом. Какова вероятность того, что 3 данные книги окажутся стоящими подряд.

Решение. Пусть событие  А  –  три данные книги оказались стоящими подряд. Свяжем эти три книги. Тогда на полку будут ставиться как бы 8 книг – 7 книг и одна связка. Количество способов, которыми это можно сделать, равно числу перестановок из 8  .  Но три данные книги можно связать в различной последовательности, и число таких вариантов равно числу перестановок из 3, т. е. . Значит число благоприятных исходов равно произведению  .

Число  п  всех исходов равно числу перестановок из  10, т. е. 

Потому искомая вероятность равна

(или 6,7%).

Если событие  В  –  две данные книги окажутся рядом, то

  (или 20%).

Ответ:  0,2.

4. Теоремы  сложения  и  умножения  вероятностей,  следствия

Теорема сложения вероятностей

Теорема.  Для любых двух событий  А  и  В  вероятность их суммы равна сумме вероятностей каждого минус вероятность их произведения

.

Следствие 1. Если события  А  и  В  несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей каждого

.

Следствие 2. Для любых трех событий  А, В  и  С

– .

Следствие 3. Если события  попарно несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей каждого

.

Следствие 4. Для любого события  А  вероятность этого события и ему противоположного равна  единице

.

Замечание. Часто обозначают  ,    и  .

Определение. Условной вероятностью события  А  называют его вероятность при условии, что событие  В  произошло. Обозначают  или  . Читают:  вероятность события  А  после  В.

Теорема умножения вероятностей

Теорема. Для любых двух событий  А  и  В  вероятность их произведения равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого

.

Определение. Событие  А  называют независимым от события  В,  если

.

Из теоремы умножения следует, что тогда  и  В  не зависит от  А,  т. к. при этом  и  Р(В/А)=Р(В).

Следствие 1. Если события  А  и  В  независимы, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей каждого

.

Следствие 2. Для любых трех событий  А,  В,  С

События называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если они попарно независимы и каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных событий.

Следствие 3. Если события  А, В, С независимы в совокупности, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей каждого события        

.

Пример 7. 

Три стрелка стреляют по цели. Первый попадает в цель при одном выстреле с вероятностью 0,7, второй  –  с вероятностью 0,8, а третий  –  с вероятностью 0,9  и  эти вероятности не зависят друг от друга. Каждый сделал по одному выстрелу.

1) Найти вероятность того, что будет точно одно попадание.

Введем события:

А1  –  первый стрелок попадает в цель,

А2  –  второй стрелок попадает в цель,

А3  –  третий стрелок попадает в цель.

Тогда  ,  соответственно,  не попадает в цель первый, второй, третий стрелок.

По условию задачи имеем  , ,  .  Следовательно  ,  аналогично .

Пусть событие  В  –  при залпе происходит точно одно попадание. Тогда это событие можно представить в виде суммы следующих событий: первый попал, а второй и третий нет; второй попал, а первый и третий нет; третий попал, а первый и второй нет, т. е.

.

Теперь по теоремам сложения и умножения вероятностей получим, что

.

Итак, искомая вероятность равна  .

2) Найти вероятность хотя бы одного попадания.

Пусть событие  С  –  хотя бы одно попадание. Тогда противоположное событие  –  ни одного попадания и