Элементы теории вероятностей (стр. 4 )

Пусть событие  А –  из  2-го ящика берут  1  белый и  1  зеленый шары. Из 1-го ящика во второй можно переложить  1  белый или  1  зеленый шар. Поэтому введем две гипотезы

–  из 1-го ящика во 2-й переложен 1 белый шар;

–  из 1-го ящика во 2-й переложен 1 зеленый шар.

Найдем вероятности этих гипотез. , где – число всех вариантов, т. е. сколькими способами можно взять  1  шар из 1-го ящика,  имеющего  10  шаров, следовательно  ,    –  число благоприятных вариантов, т. е. сколькими способами можно извлечь  1  зеленый шар из  6  зеленых, значит  .  Поэтому

.

Аналогично находим вероятность второй гипотезы

.

По формуле полной вероятности имеем

.

Найдем условные вероятности события  А  при гипотезах  Н1  и  Н2 .

При 1-й гипотезе из 1-го ящика во 2-й перекладывается  1  белый шар. Значит во 2-м ящике белых станет 6, зеленых 3, а всего шаров будет 9. Условная вероятность события  А  при  1-й гипотезе равна  , где –  число всех вариантов, которыми можно взять 2  шара из  9, значит  ,

–  число вариантов взять из 2-го ящика 1 белый (из 6 белых) и 1 зеленый шар (из 3 зеленых). Поэтому  .  Тогда условная вероятность события  А  при 1-ой гипотезе равна  .

При 2-й гипотезе из 1-го ящика во 2-й перекладывается  1  зеленый шар. Значит во 2-м ящике зеленых станет  4, белых шаров  5,  а всего шаров будет  9  и

.

Подставляем найденные значения в формулу полной вероятности

= .

Ответ:  0,522.

Пример 11. 

Пусть в условии предыдущего примера из 2-го ящика извлекли два шара и оказалось, что это  1  белый и  1 зеленый. Найти вероятность того, что из  1-го ящика во 2-й был переложен  1  белый шар.

Решение.  Согласно прежним обозначениям, нам надо найти –  вероятность первой гипотезы, если событие  А  произошло.  По формуле Байеса искомая вероятность равна

.

Ответ:  0,574.

8.  Дискретные  случайные  величины

0пределение. Величина  Х  называется случайной, если свои значения она принимает случайным образом.

Если значения случайной величины можно пронумеровать, то ее называют дискретной случайной величиной (ДСВ). Задать дискретную случайную величину  –  значит перечислить все значения, которые она может принимать, и указать вероятности наступления этих значений. В результате испытания может наступить не более одного из этих значений и хотя бы одно из них всегда наступает. Значит сумма всех вероятностей равна  1. Все это удобно записывать в виде таблицы

Х	х1	х2	…..	хn	Σ
р	p1	p2	…..	pn	1

Эту таблицу называют законом распределения дискретной случайной величины  Х.

Числовые характеристики ДСВ

Для дискретной случайной величины вычисляют следующие числовые характеристики, дающие общее представление о случайной величине, характеризующие ее в общем.

Математическое ожидание  –  это сумма произведений значений случайной величины на вероятности их наступления. Обозначают  М(Х), т. е. по определению

.  (1)

Математическое ожидание  М(Х) –  это среднее ожидаемое значение дискретной случайной величины.

Дисперсия (рассеяние)

Дисперсия  ДСВ  –  это математическое ожидание квадратов отклонений ДСВ от ее математического ожидания.  Обозначают . Итак, по определению

.

Используя свойства математического ожидания, для дисперсии можно получить следующую формулу

,

где 

.

Замечание 1.  Если брать математическое ожидание просто отклонений, то оно всегда будет равно нулю

.

Поэтому берут математическое ожидание квадратов отклонений.

Замечание 2.  Дисперсия  –  положительное число.

Дисперсия характеризует рассеяние (разброс) значений случайной величины от ее математического ожидания.

Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины в квадратных единицах измерения. Чтобы вернуться к размерности случайной величины, извлекают корень квадратный из дисперсии.

Определение.  Средним квадратическим отклонением случайной величины  Х, которое обозначают  ,  называют корень квадратный из ее дисперсии

.

Среднее квадратическое отклонение, также как и дисперсия, характеризует рассеяние случайной величины от ее математического ожидания, но  имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Функция распределения  ДСВ

Для дискретной случайной величины вводят функцию распределения  F(x)  по формуле

,

т. е. значение функции распределения в точке  х  равно  сумме веро­ятностей наступления тех значений  хk, которые меньше  значения  х.  Так  для значений    значение  , а для    значение  . График этой функ­ции  –  кусочно-постоянная линия.

Пример 12.

Три стрелка стреляют по цели. Вероятности попадания в цель при одном выстреле каждым стрелком соответственно равны 0,7;  0,8  и  0,6.  Составить закон распределения числа  Х  попаданий в цель при залпе (каждый делает по одному выстрелу), вычислить числовые характеристики  и  (математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение), записать функцию распределения  F(х)  и  построить  её  график.

Решение.        

a)  Закон распределения

Случайная величина  Х –  число попаданий в цель при залпе  –  может принимать значения  0, 1, 2, 3,  т. е. ее закон распределения имеет вид

Х	0	1	2	3	Σ
р	р0	р1	р2	р3	1

Нам надо найти вероятности  ,  k = 0, 1, 2, 3.

Введем события:

А1 – попадание в цель 1-м стрелком,

А2 – попадание в цель 2-м стрелком,

А3 – попадание в цель 3-м стрелком,

Соответственно,

– не попадание в цель 1-м стрелком,