, 
.
Т. к. для любого события сумма его вероятности и вероятности противоположного ему события равна 1, т. е. 
, то искомая вероятность равна 
.
Ответ: 0,092; 0,994.
Замечание. Часто бывает удобнее (проще, быстрее) находить именно вероятность противоположного события, а затем вероятность требуемого события.
5. Вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий
Пусть вероятности появления независимых в совокупности событий 
равны, соответственно, 
, непоявления – 
, так что 
.
Обозначим через В событие, заключающееся в том, что из этих п событий при данном испытании наступит хотя бы одно из них. Тогда противоположное к нему событие 
– не наступит ни одно из этих событий, значит 
.
Поэтому вероятность
.
Теперь вероятность того, что при данном испытании наступит хотя бы одно из событий 
как вероятность противоположного события, равна
. (1)
Следствие. Пусть некоторое событие А при одном испытании может наступить с вероятностью 
, не наступить с вероятностью 
и эта вероятность не зависит от числа испытаний. Тогда вероятность того, что событие А при п испытаниях наступит хотя бы один раз, равна
.(2)
Замечание. Ситуацию, когда вероятность события не зависит от числа испытаний, называют схемой Бернулли.
Пример 8.
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,5 и не зависит от числа выстрелов. Произведено 10 выстрелов. Найти вероятность хотя бы одного попадания.
Решение. Пусть событие А – попадание при одном выстреле, В – хотя бы одно попадание при 10 выстрелах. По условию имеем 
, ⇒ 
и по формуле (2) находим
=
,
т. е. практически вероятность попадания при 10 выстрелах равна 1, хотя при одном выстреле равна всего 0,5.
6. Формула Бернулли
Дана схема Бернулли, т. е. при одном испытании событие А наступает с вероятностью р и эта вероятность не зависит от числа испытаний. Не наступает событие А с вероятностью 
, (
).
Произведено 
испытаний. Найти вероятность того, что событие А появится 
раз. Обозначим эту вероятность через 
.
Пусть событие В заключается в том, что событие А наступит первые k раз, а остальные n-k раз не наступит. Тогда 
и вероятность
.
Но событие А может наступить и в другой последовательности с 
. Количество таких вариантов будет равно числу сочетаний из 
по 
, т. е. 
. Все варианты попарно несовместны и имеют одну и ту же вероятность, равную вероятности события В. Значит вероятность того, что при 
испытаниях событие А наступит 
раз, равна
.
Это и есть формула Бернулли.
Пример 9.
Монета подбрасывается 10 раз. Найти вероятность того, что орел выпадет 5 раз.
(Не смотря в решение и ответ, попробуйте предположить, чему равна, на Ваш взгляд, искомая вероятность)
Решение. По условию число испытаний равно 
, а 
. Вероятность выпадения орла при одном испытании равна 
, значит невыпадения орла равна 
. Тогда по формуле Бернулли находим
или 24,6%.
Т. е. вероятность того, что при 10 бросаниях орел выпадет 5 раз, равна 0,246 или приблизительно 25%.
Совпало с Вашим прогнозом?
Ответ: 0,246.
7. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
Формула полной вероятности
Пусть события 
попарно несовместны и хотя бы одно всегда происходит. Тогда
и 
.
Такие события назовем гипотезами.
Пусть событие А может произойти с одной из этих гипотез. Имеем
.
Теперь по теореме сложения и теореме умножения вероятностей
=
=
.
Это и есть формула полной вероятности. Итак, полная вероятность события А равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события А при этих гипотезах
. (1)
Формула Байеса
Пусть теперь при данном испытании событие А произошло. Найдем вероятность того, что оно произошло с гипотезой 
, т. е. найдем вероятность 
. По теореме умножения вероятностей можно записать
⇒
. (2)
Это формула Байеса.
Замечание. Формула Байеса переоценивает вероятности гипотез после того, как событие А произошло.
Пример 10.
В первом ящике 6 белых и 4 зеленых шара, во втором ящике 5 белых и 3 зеленых шара. Из 1-го ящика во 2-й переложили один шар. После этого из 2-го ящика берут два шара. Найти вероятность того, что будет взят один белый шар и один зеленый.
Решение. Изобразим схематически ситуацию примера.
1-й ящик 2-й ящик
6бел+ 4зел | ⇒ 1 шар | 5бел + 3зел | ⇒ 2 шара = 1бел + 1зел |
10 шаров 8 шаров
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
