Элементы теории вероятностей (стр. 1 )

МПС РОССИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Ростовский государственный университет путей сообщения

Министерства путей сообщения Российской Федерации

(РГУПС)

, ,

Элементы теории вероятностей

Методические указания

к выполнению типовых расчетов

Часть 1

Ростов-на-Дону

2002

УДК 512.2(075.6)

и др.

Элементы теории вероятностей: Методические указания к выполнению типовых расчетов. Ч.1 / , , – Ростов н/Д: Рост. гос. ун-т путей сообщения,  2002. – 24 c.

Рассмотрены элементы комбинаторики (размещения, пере­становки, сочетания), дано классическое определение вероятности случайного события, теоремы сложения и умножения вероятно­стей, их следствия, дискретные и непрерывные случайные величи­ны, их числовые характеристики. Приведены решения соответ­ствующих задач.

Методические указания предназначены для самостоятельного изучения теории вероятностей и выполнения типового расчета студентами 2-го курса.

Рецензент  д-р техн. наук, проф. ( РГУПС )

Элементы теории вероятностей Методические указания к выполнению типовых расчетов

Часть 1

Редактор

Техническое редактирование и корректура

Подписано в печать 28.12.02. Формат 60х84/16.

Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 1,4.

Уч.-изд. л. 1,33. Тираж 60. Изд. № 000. Заказ № 000.

Ростовский государственный университет путей сообщения.

Ризография РГУПС.

Адрес Университета:  344038, Ростов-на-Дону, пл. Народного Ополчения, 2.

©  Ростовский государственный университет путей сообщения, 2002

СОДЕРЖАНИЕ

1. Элементы  комбинаторики

2. Случайные события, операции над ними

3. Классическое  определение  вероятности  события

4. Теоремы  сложения  и  умножения  вероятностей, следствия

5. Вероятность  появления  хотя  бы  одного  из  n  независимых  событий

6. Формула  Бернулли

7. Формула  полной  вероятности.  Формула  Бейеса

8. Дискретные  случайные  величины

9. Непрерывные  случайные  величины

Рекомендуемая литература

1.  Элементы  комбинаторики

Определение 1. Размещениями из  n  элементов по  m  называют соединения по  m  элементов в каждом соединении (из дан­ных  n), которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или порядком их следования.

Число размещений из  n  элементов по  m  обозначают .  Читают  –  чи­сло размещений  из n элементов по  m. Очевидно, что  ,

,  … 

.                                (1)

Замечание. Число множителей в  (1)  равно числу  m.

Пример 1.

Сколькими способами можно поставить на книж­ную полку на три данных места три книги из десяти имеющихся у Вас?

Решение. Варианты расстановки книг отличаются друг от друга хотя бы одной книгой или порядком книг на трех данных местах. Следовательно, это будут размещения из  10  по  3

.

Т. е. таких способов будет  720.

Ответ:  720.

Пример 2.

Вычислить , .

Определение 2. Перестановками из  n  элементов называют соединения, каждое из которых содержит все  n  элементов и которые отличаются друг от друга порядком их следования.

Число перестановок из данных n элементов обозначают . Читают  –  число перестановок из  n  элементов. Очевидно, что

Итак, число перестановок из данных n элементов равно

.  (2)

Пример 3. 

Пять книг расставляют на книжной полке случайным образом. Сколькими способами это можно сделать? Это число перестановок из пяти, т. е. . Следовательно, существует 120 вариантов рас­ставить пять книг на полке, различаются варианты порядком следования книг. (Попробуйте проверить)

Определение 3. Сочетаниями из  n  элементов по  m  называ­ют соединения, содержащие каждое по m элементов (из данных  n), и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом (порядок следования элементов не важен).

Число сочетаний из  n  элементов по  m  обозначают  . Из этих трех определений следует, что    ⇒

,  (3)

или

  ⇒  .  (4)

Пример 4.

.

Замечание. Количество множителей в числителе и знаменателе одинаковое.

2.  Случайные  события,  операции  над  ними

Пусть есть неизменяющаяся совокупность условий. Будем говорить, что имеет место испытание.

Пусть при данном испытании некоторые события могут произойти или не произойти. Такие события назовем случайными и будем обозначать буквами  А, В, С, … , или одной буквой с индексами  – .

Если при данном испытании событие всегда происходит, то назовем его достоверным и будем обозначать буквой Е. Если при данном испытании событие никогда не происходит, то будем называть его невозможным и обозначать буквой  О.

Что произойдет при одном испытании  –  неизвестно, но если испытаний происходит достаточно много, то проявляются закономерности, называемые вероятностными, изучением которых и занимается теория вероятностей.

Рассмотрим некоторые операции над случайными события­ми.

1. Противоположным к событию  А  называют событие, обозначаемое  ,  которое происходит тогда и только тогда, когда событие  А  не происходит.

2. Суммой двух событий  А  и  В  называют событие, обозначаемое  А+В,  которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих событий.

3. Произведением двух событий  А  и  В  называют событие, обозначаемое    или просто  АВ,  которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба эти события.

Из этих определений следует, что, например,

1)  .

2)  .

3)  .

4)  .

5)  .

6)  .

7)  .

8)  .

9)  .

10) .

12) .

11) .

13). .

Определение. События  А  и  В  называют несовместными, если появление одного из них исключает появление другого, т. е. их произведение есть невозможное событие  .

Так  ,  О и Е  –  несовместные события, т. к. соответствующие произведения дают невозможное событие (см. предыдущие примеры 8, 9).