Элементы теории вероятностей (стр. 5 )

– не попадание в цель 2-м стрелком,

– не попадание в цель 3-м стрелком.

Из условия задачи имеем

,

.

Событие  "никто не попал"  ,  значит

.

Соответственно, находим точно одно, два, три попадания

,

,

.

Теперь находим вероятности этих событий

.

.

.

Значит закон распределения числа  Х  попаданий в цель будет выглядеть так (заполняем таблицу)

Х	0	1	2	3	Σ
р	0,024	0,188	0,452	0,336	1

b)  Числовые характеристики

1.  Математическое ожидание:

.

2.  Дисперсия:  .

.

.

3.  Среднее квадратическое отклонение:

.

Итак,                .

c)  Функция  распределения  F(x)  и  ее  график

По определению  (26)  функции распределения вероятностей

. 

По найденному нами выше закону распределения находим

Графиком этой функции будет кусочно-постоянная линия, лежащая в полосе между прямыми  , что следует из определения функции.

Теперь строим график этой функции. Для значений  значение функции равно нулю, график совпадает с осью  .  Для  графиком будет прямая  .

При строгом неравенстве точку не включаем  и отмечаем ее стрелкой. При наличии равенства точку включаем и отмечаем ее жирной точкой.

9. Непрерывные  случайные  величины

а)  Функция распределения вероятностей

Определение.  Функцией распределения  F(x)  случайной величины  Х  называют вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие  х,  т. е.

.  (27)

Если функция распределения  F(x) – непрерывная функция и дифференцируема в каждой точке, то случай­ную величину  Х  называют непрерывной случайной величиной.

Отметим некоторые свойства функции распределения:

Все значения функции  F(x)  заключены между  0  и  1

.  (28)

Это следует из определения функции как вероятности. Значит график этой функции    лежит между прямы­ми  .

Функция распределения  F(x)  неубывающая функция. . Для непрерывной случайной величины вероятность то­го, что она принимает конкретное значение, равна нулю

.

= . .

Замечание. Для непрерывной случайной величины имеет смысл рассматривать вероятность попадания случайной величины на некоторый интервал, а вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает конкретное значение, равна нулю.

b)  Плотность распределения вероятностей

Определение. Плотностью распределения вероятностей случайной величины  Х  называют функцию  ,  равную производной от функции распределения

.  (29)

Некоторые свойства плотности распределения вероятностей:

. . . .

с)  Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание  (среднее ожидаемое значение случайной величины)

.  (30)

Дисперсия  (рассеяние, разброс случайной величины)

  (31)

или

,  (32)

где

.  (33)

Среднее квадратическое отклонение  –  это корень квадратный из дисперсии

.  (34)

Замечание. Если плотность распределения    задана на конечном интервале (вне его равна нулю), то интегрирование будет вестись по этому интервалу.

Пример 13.

Дана функция распределения  F(x)  случайной величины  Х

Найти:  1.  Плотность распределения вероятностей  .

Числовые характеристики распределения – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение  –  . Построить графики функции распределения и плотности распределения  .

Решение. 1. По определению, плотность распределения вероятностей равна производной от функции распределения, т. е.

Теперь найдем числовые характеристики. Так как плотность распределения  f(x)  не равна нулю только на промежутке от нуля до единицы, то везде интегрирование будет вестись по этому промежутку. Находим:

а)  Математическое ожидание:

=

=.

b)  Дисперсия:        .

.

.

с)  Среднее квадратическое отклонение:

.

3.  Строим график функции  –  функции распределения вероятностей  и  график функции –  плотности распределения вероятностей.

График функции 

График функции 

Рекомендуемая литература

  Теория вероятностей и математическая статисти­ка. – М.: Юнити, 2000. Гмурман вероятностей и математическая статисти­ка. – М.: Высшая школа, 1977.   Руководство к решению задач по теории вероят­ностей и математической статистики. – М.: Высшая школа, 1970.     Высшая математика в упражнениях и задачах, Ч.3. –М.: "Высшая школа", 1971.