Учебно методический комплекс дисциплины ЕН. Р «Функциональный анализ» (стр. 2 )

Тема 7 – Теоремы о неподвижных точках операторов. Нелинейные операторные уравнения. Степенные операторные ряды. Принцип сжимающий отображений. Итерационный процесс Ньютона. Принцип Шаудера и его применение.

Тема 8 – Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. Понятие обобщенных решений краевых задач. Существование решения, единственность и непрерывная зависимость от начальных данных и правой части. Простейшие разностные схемы, их устойчивость и сходимость.

1.4 Требования к уровню освоения программы

Для положительной (удовлетворительной) оценки уровня знаний студента в результате обучения дисциплине «Функциональный анализ» необходимо, чтобы он знал основные определения, примеры функциональных нормированных пространств и формулировки основных теорем:

линейное, метрическое, нормированное, евклидово, гильбертово пространство; линейный, непрерывный, ограниченный и неограниченный оператор; линейный ограниченный функционал и сопряженное пространство; компактные множества и вполне непрерывные операторы; теорема Хана-Банаха и лемма Рисса; понятие спектра и собственного вектора; ортонормированные системы и ряды Фурье;

Для хорошей (четыре) оценки необходимо, чтобы в дополнении к перечисленным выше вопросам студент знал и умел использовать:

сходимость в нормированных пространствах и понятие банахова пространство; связь непрерывности и ограниченности линейного оператора; норма линейного оператора и функционала; интеграл Лебега и пространства Соболева; фактор пространство и процедура пополнения пространства; слабая и сильная сходимость последовательностей; постановка задачи Дирихле для уравнения Лапласа; критерий компактности множества и слабая компактность; резольвентное множество и спектральный радиус линейного оператора; обобщенное решение дифференциального уравнения;

Для отличной (пятерка) оценки уровня знаний студента в результате обучения дисциплине «Функциональный анализ» необходимо, чтобы в допонение к предыдущему он знал теоремы с доказательствами и умел их использовать в практических задачах:

теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала и ее следствия; теорема Банаха о замкнутом графике; теорема Арцела о компактности непрерывных функций; лемма Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве; критерий компактности Хаусдорфа; теорема Банаха-Штейнгауза о сильной сходимости операторов; теорема Банаха об обратном операторе; альтернатива Фредгольма для интегральных операторов; итерационный процесс Ньютона; принцип Шаудера;

Количественно уровень освоения программы студентами оценивается своевременностью и качеством сдачи экзамена. При этом на экзамене дается два теоретических вопроса и задача. При сдаче экзамена каждая позиция (вопрос, задача) оцениваются баллами:

3 балла – решение правильное;

2 балла – решение правильное, но с недочетами;

1 балл – путь решения правильный;

0 баллов – решение неправильное, или отсутствует.

При сдаче экзамена можно получить в сумме от нуля до 9 баллов. Предварительная оценка «отлично» на экзамене считается, если количество набранных баллов – от 8 до 9, «хорошо» – от 6 до 7, «удовлетворительно» – от 4 до 5 баллов.

Конечная оценка, которая ставится в ведомость и студенту – в зачетку, зависит и от его работы в течение семестра, т. е., результатов промежуточной аттестации. В случае претензий к оценке знаний студентам предлагается ознакомиться с ее критериями (см. выше).

Примечание. Студентам, получившим 0 баллов по аттестации или при их явной пассивности на практических занятиях, дается дополнительный вопрос.

1.5 Учебно-методическое обеспечение дисциплины

1.5.1 Дополнительная учебная литература

Дополнительная  литература:

, , Функциональный анализ в нормированных пространствах. – М.: Физматгиз, 1959. , Соболев функционального анализа. – М.: Наука, 1965. Наймарк дифференциальные операторы. – М.: Гостехиздат, 1954. Соболев применения функционального анализа в математической физике. – Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. ункциональный анализ. – М.: Мир, 1967. ункциональный анализ. – М.: Мир, 1975. Лебедев анализ и вычислительная математика. – М., Физматгиз, 2000. – 295 с.

1.5.2 Методические рекомендации для преподавателей

Соответствующие указания определяют совокупность методов и средств, необходимых для достижения цели курса – освоения студентами комплекса математических методов, используемых для решения прикладных задач психологии.

Формы обучения включают в себя:

лекции, на которых закладываются теоретическая база знаний по дисциплине «Функциональный анализ»; практические занятия, где студенты приобретают навыки в решении задач по отдельным разделам курса; самостоятельная работа студентов, которая осуществляется в двух формах: индивидуального выполнения заданий и индивидуально-аудиторного – с консультацией у преподавателя; разбор сложных вопросов и задач на плановых консультациях.

Методами обучения являются:

дополнительные разъяснения труднопонимаемых положений теории; иллюстрирование материала графиками и таблицами; подкрепление теоретических вопросов примерами.

Средства обучения функциональному анализу стандартны: базовые учебники, иллюстрация зависимостей на доске, и т. п.

Преподавателю, читающему лекции, рекомендуется строить занятия в следующей последовательности:

теоретическую часть, излагать в форме, доступной для студентов – математиков; определения абстрактных понятий желательно иллюстрировать примерами и сравнивать с аналогичными понятиями математического анализа; комментировать область возможного приложения вводимых понятий в задачах математической физики.

Преподавателю, ведущему аудиторные практические занятия, рекомендуется строить их по следующей схеме:

повторить основные положения соответствующей лекции (теория); разобрать вариант типовой задачи; предложить практические задачи (5-10 минут размышлений и вызов к доске, желательно по списку); задавать задание «на дом»; периодически проводить контрольные работы, тематика которых должна соответствовать темам самостоятельных работ.

Для текущего контроля знаний перед аттестацией преподавателю рекомендуется провести пробный контроль уровня знаний по тестам. Они предложены в разделе 3. Каждому из студентов на 2 академических часа дается 10 из предложенных 200 задач. За правильное решение 75% задач ставится предварительная оценка 2 (будущая высшая аттестационная), за решение более 50% задач – ставится 1, менее 50% – 0.

1.5.3 Методические указания студентам

1.5.3.1 Общие указания (пояснительная записка)

Цель курса в получении студентами базовых знаний по основам функционального анализа, которые в последующем можно использовать в прикладных исследованиях при численном решении дифференциальных уравнений, моделирующих физические процессы.

Особенность курса функционального анализа является его прикладной характер: изучение большинства тем закрепляется решением соответствующих задач аппроксимации функций в различных нормированных пространствах и применения теорем о вполне непрерывных операторах для доказательства существования и единственности решений дифференциальных уравнений.

По завершении курса «Функциональный анализ» уровень подготовки студентов должен быть таким, чтобы они умели:

устанавливать сходимость в нормированных пространствах; разлагать в ряды Фурье по ортонормированным системам функции из гильбертовых пространств; оценивать норму линейного оператора для подтверждения его непрерывности; применять теорему Рисса в сопряженных пространствах для доказательства существования обобщенного решения дифференциального уравнения; обосновывать введение компактных множеств в бесконечномерных функциональных пространствах; давать оценки спектрального радиуса дифференциального оператора и находить собственные элементы; аппроксимировать функции в нормированных пространствах полиномами Чебышева.

1.5.3.2 Темы семинарских занятий

Наиболее удобным учебником для компактного курса по функциональному анализу наряду с курсом прочитанных лекций является учебник «Функциональный анализ» совместно со сборником задач того же автора.

В предлагаемом учебнике основные понятия функционального анализа увязываются с практическими задачами нахождения приближенных решений дифференциальных уравнений. Рассматриваются основные функциональные пространства, в которых ищутся классические и обобщенные решения. Особое внимание уделяется гильбертовым пространствам, в частности, пространствам Соболева. Рассматриваются примеры дифференциальных и интегральных операторов, а также методы получения априорных оценок для установления их ограниченности. Приводятся примеры приложения теоремы Хана – Банаха и ее следствий для конкретных функционалов. Указываются методы вычисления спектра линейных дифференциальных операторов. Показывается применение теоремы Рисса для доказательства существования единственного обобщенного решения Задачи Дирихле для эллиптического уравнения.

Методические указания по основным темам целесообразно представить в виде следующей таблицы.

N п\п	Тема	На что обратить внимание (типичные ошибки)	Указания
1	2	3	4
1	Линейные нормированные функциональные пространства	Методы определения норм для множества непрерывных или дифференцируемых функций.	Пояснить разницу между метрическим и нормированным пространствами. Показать на примерах, что нормы в функциональных пространствах могут быть не эквивалентны и последовательность одних и тех же функций может не сходиться в различных нормах.
2	Банаховы и гильбертовы пространства	Разложение элементов пространства в ряд Фурье по ортонормированной системе.	Подробно рассмотреть способы введения скалярного произведения в различных функциональных пространствах и доказательство неравенства треугольника с помощью неравенства Минковского.
3	Пространство линейных операторов	Вычислить норму дифференциального и интегрального оператора	На практических занятиях обратить внимание на различие операторов, действующих в конечномерных и бесконечномерных пространствах.
4	Функционалы и сопряженное пространство	Знать построение функционалов в различных линейных пространствах.	Особое внимание обратить на вид линейного функционала в гильбертовом пространстве.
5	Компактные множества вполне непрерывные операторы	Ошибки при формулировке критериев компактности.	Обратить внимание на способы доказательства компактности равномерно ограниченных множеств дифференцируемых функций.
6	Элементы спектральной теории линейных операторов	Множество собственных значений могжет иметь предельную точку.	Внимательно изучить способы нахождения спектра для дифференциальных и интегральных операторов.
7	Теоремы о неподвижных точках операторов	Примеры сжимающих операторов.	Изучить применение теоремы при доказательстве существования и единственности решения дифференциальных уравнений.
8	Дифференциальные уравнения в Банаховых пространствах	Неверное определение обобщенного решения дифференциального уравнения.	Тщательно разобрать применение теоремы Рисса для доказательства существования и единственности обобщенного решения задачи Дирихле.

1.5.3.3 Указания по выполнению самостоятельных работ

Самостоятельная работа студентов состоит в выполнении практических заданий и семестровых работ в течение семестра. Их своевременное выполнение является предпосылкой к обоснованию возможности допуска студента к экзаменам и оценки результатов итогового контроля.